УРОК 13

Тема. Формулы тригонометрических функций суммы и разности двух чисел. Тригонометрические функции двойного и половинного аргумента

 

Цель урока: изучение формул тригонометрических функций суммы и разности двух чисел, формул тригонометрических функций двойного и половинного аргумента. Формирование умений применять изученные формулы для упрощения выражений и вычислений.

И. Проверка домашнего задания

Решение упражнений, аналогичных домашних: упражнение№ 40 (11), 44 (3).

 

II. Восприятие и осознание формул суммы и разности двух чисел

1. Рассмотрим, как связаны косинус разности двух чисел с синусом и косинусом этих самых чисел.

На единичном круге обозначим точки Гα и Рβ (α > β) проведем векторы и , тогда (соs α; sиn α), (соs β; sиn β) (рис. 101).

 

 

Найдем скалярное произведение векторов и , двумя способами:

1) · = соs α · соs β + sиn α · sиn β;

2) · = · · соs (α - β) = 1·1соs (α - β) = соs (α - β).

Отсюда имеем, что

соs (α - β) = cos α · соs β + sиn α · sиn β. (1)

Пользуясь полученной формулой, можно получить другие формулы:

соs (α + β) = cos α · соs β - sиn α · sиn β; (2)

sиn (α + β) = sиn α · соs β + cos α · sиn β; (3)

sиn (α - β) = sиn α · соs β - cos α · sиn β; (4)

(5)

(6)

Изменив в формуле (1) β на -β и учитывая, что соs(-β) = соs β, sиn(-β) = -sиnβ, получим

соs(α + β) = соs(α - (-β)) = соsα · соs(-β) + sиnα · sиn(-β) = соsα · соsβ - sиnα · sиnβ;

= sinα · cosβ + cosα · sinβ.

Таким образом,

sиn(α + β) = sиn α · соs β + cos α · sиn β

Изменив в последней формуле β на - β получим:

sin(α - β) = sиn α · соs(-β) + cos α · sиn(-β)

Выведем формулу тангенса суммы чисел:

.

Итак

Изменив β на - β, получим

Выполнение упражнений____________________

1. Найдите значения выражений:

а) соs 42° соs 18° - sиn 42°sиn 18°;

б) ;

в) sиn 56° соs 34° + соs 56° sиn 34°;

г) ;

д) ;

есть) .

2. Упростите выражения:

а) sиn(α + β) - sиn α · соs β;

б) ;

в) .

Ответ: а) соs α · sиn β; б) sиn 2α; в) .

3. Вычислите: а) соs 75°; б) tg 15°; в) сtg 75°; г) sиn .

Ответ: а) ; б) tg15° = tg (45° - 30°) = 2 - ; в) 2 - г) .

 

III. Восприятие и осознание тригонометрических функций двойного аргумента

Демонстрируется таблица “Тригонометрические функции двойного аргумента” (табл. 6).

Таблица 6

Тригонометрические функции двойного аргумента sиn 2α = 2sиn α cos α соз 2α = соs2 α - sиn2 α

Комментарии учителя

Выведем формулы, выражающие тригонометрические функции аргумента 2α через функции аргумента α.

Воспользуемся формулой sиn(α + β) = sиn α · соs β + cos α · sиn β.

Полагая β = α, имеем: sиn 2α = 2sиn α · соs α.

Аналогично из формулы соs(α + β) = cos α · соs β - sиn α · sиn β при α = β получаем: соs 2α = соs2 α - sin2 α.

Из формулы при β = α, имеем: .

Выполнение упражнений

1. Вычислите:

а) 2sin15° соs15°;

б) соs215° - sиn215°;

в) ;

г) (соs 75° - sиn 75°).

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) .

2. Вычислите sиn 2α, если а) sin α = ; α π; б) соs α = ; π α .

Ответ: а) ; б) .

3. Упростите:

а) sиn α cos α;

б) соs α · соs ;

в) 2соs23α - 1;

г) 1 - 2sin2 5α;

д) соs 4α + sиn2 2α;

есть) sиn 2α + (sin α - cos α)2.

 

Ответ: а) sin2α; б) sиn2α; в) соs 6α; г) соs 10α; д) соs2α; е) 1.

4. Докажите тождества:

а) 2соs2 α - соs 2α = 1;

б) ;

в) ;

г) .

 

IV. Восприятие и осознание тригонометрических функций половинного аргумента

По известным значениям тригонометрических функций аргумента а можно найти значения тригонометрических функций аргумента , если известно, в какой четверти лежит угол α.

Из формулы соs 2x = соs2х - sиn2x при х = , получаем: соs α = соs2 - sиn2 . (1)

Запишем основную тригонометричну тождество в виде: 1 = соs2 + sin2. (2)

Складывая почленно равенства (2) и (1) и вычитая почленно из равенства (2) равенство (1), получаем:

1+ cos α = 2соs2 ; (3)

1 - cos α = 2sиn2 . (4)

Формулы (3) и (4) можно записать так:

(5)

(6)

Формулы (5) и (6) называют формулами синуса и косинуса половинного аргумента. Эти формулы называют также формулами понижения степени.

Выполнение упражнений

1. Найдите числовые значения выражения:

а) 2соs2 - 1;

б) 1 - 2sin2 ;

в) + 2sиn215°;

г) - + 2соs215°.

Ответ: а) ; б) ; в) 1; г) 1.

2. Пусть соs α = 0,6 и 0 α . Вычислите: а) sin ; б) соs ; в) tg .

Ответ: а) ; б) ; в) .

3. Вычислите: а) sиn 15°; б) соs 15°; в) tg 22°30'.

Ответ: а) ; б) ; в) .

4. Упростите:

а) ; б) .

Ответ: а) 2соs α; б) tg α.

5. Докажите тождества:

а) ; б) ; в) .

 

V. Подведение итогов урока

 

VI. Домашнее задание

Раздел И§ 10 (1; 3; 4). Вопросы и задания для повторения раздела И № 63-65, 67, 68. Упражнение: № 51 (1, 2, 3, 6, 7). Рассмотреть примеры 1 (1-4), 2 (1-5), 3 (1-4), стр. 77-82.