Пусть точка Ρα(х, у) единичного круга полученная поворотом точки Р0(1; 0) на угол α радиан, тогда согласно определению синуса и косинуса: х = cos α, y = sin α (рис. 100)
Поскольку точка Рα(х;у) принадлежит единичному кругу, то координаты (х; у) удовлетворяют уравнению х2 + у2 = 1. Подставив в это уравнение вместо х и у значения cos α и sin α, получим:
(cos α)2 + (sin α)2 = 1 или (учитывая, что (cos α)2 = cos2 α, (sin α)2 = sin2 α)) cos2 α + sin2 α = 1.
Таким образом, sin2 α + cos2 α = 1 для всех значений α. Это равенство называется основной тригонометричною тождественностью.
Из основной тригонометрической тождества можно выразить sin α через cos α и наоборот.
, 
.
Выполнение упражнений
1. Могут быть справедливыми одновременно равенства:
a) cosα = 
и sinα = ;
б) sinα = - и cosα = -
;
в) sinα = и cosα = - .
при одном и том же значении α?
Ответ: а) нет; б) да; в) да.
2. Найдите cos α, если sin α = 0,6 и 
α π.
Ответ: cos α = -0,8.
3. Найдите sin α, если cos α = 
и 
α 2π.
Ответ: sin α = -
.
4. Упростите выражения:
а) 1 + sin2 α + cos2 α;
б) 1 - sin2 α - cos2 α;
в) 2sin2 α + cos2 α - 1;
г) (1 - cos α)(1 + cos α);
д) 
;
есть) sin4 α - cos4 α + 1.
Ответ: а) 2; 6) 0; в) sin2 α; г) sin2 α; д) tg2α; е) 2sin2α.
5. Докажите тождества:
а) (1 - cos 2α)(1 + cos 2α) = sin2 2α;
6) cos4 α - sin4 α = cos2 α - sin2 α;
в) (sin2 α - cos2 α)2 + 2cos2α sin2α = sin4 α + cos4 α;
г) 2cos2α sin2α + cos4α + sin4α = 1;
д) sin6 α + cos6 α = 1 - 3sin2α cos2α;
есть) 
.
6. Найдите cos α, если cos4 α - sin4 α = 
.
Ответ: cosα = ±
.
2. Соотношение между тангенсом и котангенсом. Согласно определению тангенса и котангенса, 
, 
.
Перемножив эти равенства, получим 
Следовательно, tgα · ctgα = 1 для всех значений α, кроме α = , k, k
Ζ. из полученного равенства можно выразить tg α через ctg α и наоборот: 
; 
.
Выполнение упражнений
1. Могут быть справедливыми одновременно равенства:
a) tg α = 
и ctgα = 
;
б) tgα = и ctgα = ;
в) tg α = - и ctg α = 2
при одном и том же значении α?
Ответ: а) да; б) нет; в) нет.
2. Найдите
а) tg α, если ctg α = 
;
б) ctg α, если tg α = -1;
в) tg α, если ctg α = 0.
Ответ: а) 
; б) -1; в) не существует.
3. Дано: х = 2tg α = ctg α. Найдите ху.
Ответ: ху = 
.
4. Дано tg α + ctg α = 2. Найдите tg 2 α + ctg2 α.
Ответ: 2.
5. Упростите:
а) tg α · сtg α - 1;
б) sin2 α - tg α · сtg α;
в) tg 1° · tg 3° · tg 5° · ... · tg 89°.
Ответ: а) 0; б) - соs α; в) 1.
6. Докажите тождества:
а) (tg α + ctg α)2 - (tg α - tg α)2 = 4;
б) 
;
в) 
;
г) 
;
есть) 4 + (сtg α - tg α)2 = (сtg α + tg α)2.
3. Соотношение между тангенсом и косинусом, котангенсом и синусом.
Разделим левую и правую часть равенства sиn2 α + соs2 α = 1 на соs2α, полагая, что соs2α ≠ 0, получим:
; 
,
отсюда: 
, где 
.
Разделим левую и правую часть равенства sиn2 α + соs2 α = 1 на sиn2 α, полагая, что sиn α ≠ 0, получим
; 
,
отсюда: 
, где 
.
Выполнение упражнений______________________________
1. Могут быть справедливыми одновременно равенства.
а) tg α = и соs α = ;
б) сtg α = 1 и sиn α = 
;
в) tg α = 
и sиn α = 
при одном и том же значении α?
Ответ: а) нет; б) да; в) нет.
2. Известно, что tg α = 2 и 
. Найдите sиn α, соs α и сtg α.
Ответ: sиn α = 
; соs α = 
; сtg α = .
3. Известно, что sиn α = и 0 α . Найдите cos α, tg α, сtg α.
Ответ: соs α = ; tg α = ; сtg α = 
.
4. Известно, что сtg α = 3 и α - угол IV четверти. Найдите sиn α, соs α, tg α.
Ответ: sиn α = 
; соs α = 
; tg α = 
.
5. Известно, что соs α = 
и α - угол i четверти. Найдите sиn α, tg α, сtg α.
Ответ: sиn α = 
; tg α = 
; сtg α = 
.
6. Упростите выражение:
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
;
д) 
;
есть) 
.
Ответ: а) 1; б) 0; в) 0; г) 0; д) 
; е) tg α.
7. Докажите тождества:
а) 
;
б) (1 - tg α)2 + (1 + ctg α)2 = 
;
в) 
;
г) 
.
III. Подведение итогов урока
IV. Домашнее задание
Раздел И § 8. Вопросы и задания для повторения раздела И № 56-58. Упражнения№ 40 (1; 2; 4; 10), № 44 (1; 2).