Логарифмические неравенства
Решая логарифмические неравенства, опираются на такие утверждения.
1. Если
, то неравенство
равносильно двойному неравенству
.
Это утверждение можно записать в виде:
или
2. Если
, то неравенство
равносильно двойному неравенству
.
Это утверждение можно записать в виде:
или
Обратите внимание: при решении логарифмической неравенства нет смысла отдельно выписывать ОДЗ, поскольку все равно будет необходимо решать систему неравенств, которая включает и ОДЗ.
Примеры
1)
.
Логарифмическая функция
с основанием
нисходящая, следовательно, данное неравенство равносильно системе
Ответ:
(или в виде
.
2)
.
Пусть
.
,
,
.
Ответ:
или
3)
.
Рассмотрим два случая.
.
.
Объединяя эти промежутки, получим ответ.
Ответ:
.
4)
.
; основанием логарифма может быть только положительное число, которое не равно 1. Исходя из этого, получаем, что данное неравенство равносильно системе:
Если
, то
;
.
Если
, то
;
.
Ответ:
.