Решение логарифмических уравнений

Логарифмическими уравнениями называются такие уравнения, которые содержат переменную под знаком логарифма. Простейшим логарифмическим уравнением является , где , . Корень этого уравнения равен .
Уравнение , где , , равносильно системе:

Обратите внимание: в этой системе можно выпустить одну из неровностей.
Из этого следует, что для решения уравнения , где , надо: решить уравнение ; из найденных корней отобрать те, которые удовлетворяют неравенство или (обычно выбирают более простую с неровностей).
Примеры
1) .
ОДЗ: .
(Обратите внимание: сначала записывают ОДЗ, а только потом начинают преобразовывать уравнения.)
,
,
,
,
,
, не удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 2.
2) ; ОДЗ: .
,
,
. .
, ,
. .
Ответ: 5; .
3) ; ОДЗ: .
,
,
,
,
,
. .
, ,
. .
Ответ: 0,01; 10.
4) ,
ОДЗ:
.
,
,
,
- не удовлетворяет ОДЗ.
- не удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: корней нет.
5) ; ОДЗ: .
,
,
,
,
,
,
. .
, ,
. .
Ответ: ; 3.
6) ; ОДЗ:
,
,
(далее см. пример 2).
Очень часто в систему уравнений объединяют показательные и логарифмические уравнения.
Пример

ОДЗ: ; .
Рассмотрим первое уравнение системы:

Пусть ,
,
; не удовлетворяет условие .
, ,
.
Следовательно,


(проверка условия ).
Ответ: .