Показательные уравнения

Показниковими уравнениями называются такие уравнения, в которых неизвестное входит только в показатели степеней при постоянных основах.

Решение показательных уравнений

1. Решения сведением к общей основы
,
,
,
,
, x = ±2.
Ответ: x1 = 2; x2 = -2.
2. Показательные уравнения, имеющие показатели с одинаковой буквенной частью
Очевидно, что , где C - const, .
1) .
Вынесем за скобки общий множитель левой части :
,
,
,
,
.
Ответ: 1.
2) .
Сведем все степени к общей основы 2.
,
,
,
,
,
,
,
.
Ответ: 1,75.
3. Показательные уравнения, сводящиеся к квадратным
,
.
Пусть , .
;
. .
; ;
. .
Ответ: ; .
4. Однородные показательные уравнения
.
Обратите внимание, что , , . Следовательно, .
Все члены левой части этого уравнения имеют степень 2х, т.е. уравнение однородное. Поделим обе части его на :
.
Пусть , .
;
; не удовлетворяет условие .
; .
Ответ: 0.
5. Уравнения, которые одновременно содержат и .
.
Умножим обе части уравнения на :
.
Пусть , .
;
. .
; ;
. .
Ответ: 2; 0.
6. Показательные уравнения, содержащие обратные выражения
Обратите внимание: в уравнениях можно встретить выражения, произведение которых равно 1, например: и ; и и т. д.
.
Пусть , .
,
, следовательно, на y можно умножить обе части уравнения.
,
,
, .
1) , .
2) ,
,
; .
Ответ: 2; -2.
7. Для решения некоторых уравнений удобно использовать монотонность показательной функции
1) .
Очевидно, что является корнем уравнения. Функция является возрастающей, а функция - убывающая. Следовательно, уравнение не может иметь более чем один корень.
Ответ: 1.
2) ; .
Функция является суммой двух возрастающих функций, то есть является возрастающей на R. Правая часть уравнения 1 - постоянная величина. Следовательно, уравнение не может иметь более чем один корень.
является корнем уравнения.
Ответ: 2.

Решения уравнений показниковостепеневих

Показниково-степенная функция имеет вид . Ее область определения находим, рассматривая три случая:
1) ; - любое число;
2) ; - целое число;
3) ; - целое положительное число.
Пример
Решить уравнение:
а) .
Рассмотрим случаи:
1) , .
2) , .
3) , .
4) ; , .
Проверкой убеждаемся, что все найденные корни уравнения удовлетворяют.
Ответ: -4; -6; -5; 2; -1.
б) .
1) , .
2) , .
3) ; , .
Проверка
1) , .
2) , .
3) , .
4) ; не имеет смысла.
Ответ: -7; -9; -1.

Решение показательных неравенств

В основе решения показательных неравенств лежит монотонность показательной функции, которая зависит от значения основы. Способы решения аналогичны способам решения показательных уравнений, но часто приводят к системе неравенств, потому что нужно учесть условие
Примеры
1) .
Пусть , .
; .
Получим систему неравенств:

; .
Показательная функция с основанием является возрастающей на R.
Следовательно, .
Ответ: .
2) ;
.
Показательная функция с основанием является убывающей на R, поэтому получим:
, ,
.
Ответ: .

Назад

Содержание

Вперед