Обобщение понятия степени
Основные определения
1. Если
n Является
N,
, то
, где
a - произвольное число.
2.
, где
а - произвольное число.
3.
для
.
не имеет содержания.
4.
,
n Является
N,
.
5.
,
n Является
N,
m Є
Z,
.
Свойства степени с рациональным показателем
Для любых рациональных чисел
r и
s и любых положительных
a и
b выполняются следующие равенства.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6. Если
, то
для
;
для
.
7. Если
, то
для
;
для
.
Понятие степени с иррациональным показателем
Пусть
a - любое положительное число, которое не равно 1,
- любое иррациональное число.
Рассмотрим три случая.
1.
,
.
Например,
;
. Степень
означает такое число, которое больше всякого степени
, но меньше от всякого степени
, где
- любое рациональное приближение числа
, взятое с недостачей, а
- любое приближение числа a, взятое с избытком. Обратите внимание: такое действительное число существует, и к тому же единственное.
2.
,
.
Например,
. Тогда под степенью
понимают число, которое меньше любого степени
, но больше от любого степени
.
3.
a - произвольное число, кроме 1,
.
Например,
,
. Тогда считают
.
Действия над степенями с иррациональными показателями выполняются по тем же правилам, которые установлены для степеней с рациональными показателями.
Степенная функция
Функцию
, где
x - переменная, а
p - фиксированное действительное число, называют
степенной функцией.
Свойства степенной функции зависят от значения
p.
1.
p Есть
N. Тогда
;
;
Если
p - нечетное, знак
y совпадает со знаком
x; функция нечетная и возрастает на всей области определения. Если
p - четное,
для всех значений
x; функция парная. Если
, то функция убывает, если
, то функция возрастает.
2.
p Є
Z;
. Тогда
.
График состоит из двух ветвей;
.
Если
p - нечетное, то для всех значений
знак функции совпадает со знаком аргумента.
Функция нечетная, нисходящая на каждом из промежутков
и
.
Если
p - четное,
для всех
x; функция парная. Если
, то функция убывает, если
, то функция возрастает. На рисунках, представленных ниже, приведены графики степенной функции для разных значений
p:
Показательная функция
Функция
, где
и
, называется
показниковою (с основой
а).
Свойства показательной функции
:
1.
. 1.
.
2.
. 2.
.
3. Функция не является ни четным, ни нечетным.
4. График функции расположен в верхней півплощині, пересекает ось
Оу в точке (0; 1), ось
Ох является для него асимптотою.
5. Функция возрастает 5. Функция спа на
R. дает на
R.
6. Если
, то
.
7. Если
, то существует, и к тому же единственное, значение
x, при котором
(Т.е. уравнение
всегда имеет решение, и к тому же единственный, если
,
,
.)
На рисунке внизу слева изображен график показательной функции
при
; на рисунке 1 - при
.
Рис. 1
Рис. 2