Урок № 12

Тема. Перпендикулярные прямые

Цель: добиться усвоения учениками определение перпендикулярных прямых, теорему о две прямые перпендикулярны к третьей и схемы ее доведения.

Сформировать умения:

· воспроизводить названные выше определения и теоремы, доказательства теоремы;

· находить на готовом рисунке и строить, используя чертежные принадлежности, перпендикулярные прямые и параллельные прямые;

· решать задачи, предусматривающие применение определение и свойство перпендикулярных прямых отдельно и в комплексе со свойствами смежных и вертикальных углов.

Тип урока: усвоение знаний, умений и навыков.

Наглядность и оборудование: набор демонстрационного чертежных принадлежностей.

ХОД УРОКА

И. Организационный момент

II. Проверка домашнего задания

Проверку домашнего задания можно осуществить само - или взаимопроверкой тетрадей учащихся по образцом.

Математический диктант

Вариант 1 [2]

1. Прямые AM и CE пересекаются в точке O, лежащей между точками A и M и между точками C и E. Или образовались при этом вертикальные углы? Если да, то назовите их. [Ученик построил два вертикальные углы. Сколько пар прямых при этом образовалось?]

2. Какова градусная мера угла, если вертикальный с ним угол равен 34°? [В двух углов общая вершина, каждый из них имеет градусные мере 60°. Обязательно ли эти углы вертикальные? Изобразите это на рисунке.]

3. Один из 4-х углов, образовавшиеся при пересечении двух прямых, равен 140° [40°]. Какую градусную меру имеет каждый из оставшихся углов?

4. Два угла со общей вершиной уровне [не равны]. Обязательно ли они вертикальные? [ эти вертикальные углы?]

5. В двух углов общая вершина. Один угол 40°, второй 140°. Или эти вертикальные углы? [Которую градусную меру имеет угол, что является вертикальным с прямым углом?]

После выполнения заданий математического диктанта, обязательная проверка и обсуждение.

Ответы

Вариант 1

1. Так: и ; и .

2. 34°.

3. 40°; 140°; 40°.

4. Не обязательно:

5. Нет, потому что не равны.

Вариант 2

1. Одна пара.

2. Нет.

3. 140°; 40°; 140°.

4. Нет, потому что не равны.

5. 90°.

III. Мотивация учебной деятельности. Формулировка цели и задач урока

Мотивация осуществляется как во время проверки домашнего задания, так и во время проверки выполнение математического диктанта (вариант 2, № 5).

После обсуждения возможности «особого» способа пересечения прямых учитель формулирует дидактическую цель урока и задачи на урок.

IV. Актуализация опорных знаний

Выполнение устных упражнений

1. Что можно сказать каждый из вертикальных углов, если их сумма:

а) больше 180°; б) меньше 180°; в) равна 180°?

2. Есть ли на рисунке прямые углы? Сколько их на каждом изображении? Ответ проверьте с помощью транспортира и угольника.

3. Сформулируйте утверждение, противоположное данному: а) две прямые имеют общую точку; б) две прямые параллельны; в) через две точки можно провести прямую и только одну.

V. Усвоение новых знаний

План изучения нового материала

1°. Определение перпендикулярных прямых; перпендикулярные отрезки и лучи.

2°. Теорема о двух прямые, перпендикулярные к третьей.

3°. Применение теорема две прямые, параллельные третьей для построения параллельных прямых по помощью угольника и линейки.

Методический комментарий

Как и в учебнике О. В. Погорелова, в учебнике тема «Перпендикулярные прямые» логически вытекает из темы «Смежные и вертикальные углы». Однако авторы считают нецелесообразным рассматривание на этом этапе теоремы о

существование и единственность прямой, перпендикулярной к данной, проходящей через данную точку данной прямого. Вместо нее, вполне оправдано подается теорема две прямые, перпендикулярные третьей (в учебнике О. В. Погорелова эта теорема является следствием признаки параллельности прямых). Поэтому доказательство теоремы о две прямые, перпендикулярные третьей, в учебнике есть несколько нестандартным (используется, кроме метода доказательства от противного, симметрия относительно прямой в неявном виде).

Поэтому, чтобы облегчить ученикам восприятие доказывания, можно организовать совместную работу учителя и учащихся с «конструирования» соображений, приведенных в доказательстве теоремы, например, раздать ученикам прозрачные пленки, на которых они будут выполнять рисунок к теорем и его «перегиб».

VI. Проверка усвоения знаний

Выполнение графических упражнений

Начертите перпендикулярные прямые a и b, пересекаются в точке O.

а) Отметьте на прямой a точку B. С помощью угольника проведите через эту точку прямую c, перпендикулярную к прямой a.

б) параллельные прямые b и c? Почему?

Выполнение письменных упражнений

1. Прямые a и b перпендикулярны. Прямая c проходит через точку их пересечения и образует с прямой a на угол 70°. Найдите угол между прямыми c и b.

2. Даны прямые a, b, c и d, причем , a||d. Докажите, что прямые b и d параллельны.

3 (дополнительная). Через точку пересечения двух перпендикулярных прямых проведено третью прямую. Найдите самый маленький из тупых углов, образовавшихся в результате пересечения этих трех прямых, если наибольший из образованных тупых углов равен 165°.

VII. Усвоение умений и навыков

Одновременно с работой по усвоению новых знаний желательно отрабатывать навыки применения материала, который ученики освоили на предыдущих уроках.

Выполнение письменных упражнений

В результате пересечения двух прямых образовались 4 угла, каждый из которых меньше развернутого. Найдите градусную меру каждого угла, если:

а) сумма двух углов равен 78°;

б) разность двух углов равен 42°;

в) один из углов в 5 раз меньше другого;

г) один из углов в 2 раза меньше суммы двух других;

д) сумма трех углов равна 300°;

е) сумма трех углов больше четвертого на 100°.

VIII. Итоги урока

1. Углы 1 и 2 образовавшиеся в результате пересечения двух не перпендикулярных прямых. Определите, каковы данные углы-или смежными вертикальными, если:

а) их сумма больше 180°;

б) только один из них острый;

в) их сумма меньше, чем сумма других двух полученных углов.

2. α и β-градусные меры двух смежных углов. Могут α и β быть градусными мерами двух вертикальных углов? В каком случае?

3. В результате пересечения двух прямых образовались четыре угла, ни один из которых не является острым. Под каким углом пересекаются данные прямые?

IX. Домашнее задача

Изучить теорию.

Повторить ранее изученную теорию с контрольными вопросами.

Контрольные вопрос

1. Назовите основные геометрические фигуры на плоскости. Как они обозначаются?

2. Сформулируйте аксиому проведение прямой.

3. Сформулируйте аксиому размещение точек на прямой.

4. Какая фигура называется лучом (півпрямою)? Как обозначаются лучи?

5. Какие лучи называются доповняльними?

6. Дайте определение отрезка. Как обозначается отрезок?

7. Которые отрезки называются равными? Как сравнить два отрезка?

8. Сформулируйте аксиомы измерения и откладывания отрезков. Как сравнить два отрезка с заданными длинами?

9. Дайте определение середины отрезка.

10. Дайте определение угла. Как обозначаются углы?

11. Угол называется развернутым?

12. Какие углы называются равными? Как сравнить два угла?

13. Сформулируйте аксиомы измерения и откладывания углов. Как сравнить два угла с заданными градусными мерами?

14. Назовите единицу измерения углов. Какие углы называются острыми, прямыми, тупыми?

15. Дайте определение биссектрисы угла.

16. Дайте определение параллельных прямых. Назовите два случая взаимного расположения прямых на плоскости. Какие отрезки (лучи) называются параллельными?

17. Сформулируйте аксиому параллельных прямых. В чем заключается отличие от аксиом теорем? Наведите примеры аксиом из курса геометрии.

18. Сформулируйте и докажите теорему о двух прямых, параллельных третьей.

19. В чем заключается метод доказательства от противного? Опишите этапы рассуждений в ходе доведения от противного.

20. Дайте определение смежных углов.

21. Сформулируйте и докажите теорему о смежных углах.

22. Сформулируйте последствия теоремы о смежных углах.

23. Дайте определение вертикальных углов.

24. Сформулируйте и докажите теорему о вертикальных углах.

25. Дайте определение угла между прямыми. Сколько острых, тупых, прямых углов может образоваться в результате пересечения двух прямых?

26. Дайте определение перпендикулярных прямых.

27. Сформулируйте и докажите теорему о двух прямых, перпендикулярных к третьей.

Выполните домашнюю самостоятельную работу.

Вариант 1

Начальный уровень

1. Угол, смежный с углом A, больше угла, смежного с углом B. Сравните углы A и B.

Средний уровень

2. Могут градусные меры углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, относятся как 2 : 3 : 2 : 4?

Достаточный уровень

3. Углы 1 и 2 являются смежными, а углы 1 и 3 вертикальные. Сравните углы 2 и 3, если угол 1 острый.

Высокий уровень

4. Через точку пересечения двух перпендикулярных прямых проведено третью прямую. Сколько пар косвенных вертикальных углов при этом образовалось?

Вариант 2

Начальный уровень

1. Углы 1 и 2 являются смежными, углы 2 и 3 также смежные. Сравните углы 1 и 3.

Средний уровень

2. Могут градусные меры углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, относятся как 7 : 3 : 7 : 2?

Достаточный уровень

3. Углы 1 и 2 являются смежными, а углы 1 и 3 вертикальные. Сравните углы 2 и 3, если угол 1 тупой.

Высокий уровень

4. Через точку пересечения двух перпендикулярных прямых проведено третью прямую. Сколько пар косвенных смежных углов при этом образовалось?

Источники:

1. Уроки геометрии. 7 класс./ С. П. Бабенко - Х.: Изд. группа «Основа», 2007.- 208 с.