УРОК № 11

Тема. Применение решения треугольников в прикладных задачах

Цель урока: формирование умений учащихся применять знания решения треугольников к решению прикладных задач.

Тип урока: комбинированный.

Наглядность и оборудование: таблица «Соотношение между сторонами и углами треугольника» [13], таблица 2, пособие [14].

Требования к уровню подготовки учащихся: решают треугольники. Применяют алгоритмы решения треугольников к решению прикладных задач.

Ход урока

И. Проверка домашнего задания

Проверить наличие выполненных домашних заданий и ответить на вопросы, которые возникли у учащихся при выполнении домашнего задания.

Задача 1. Решение

γ = 180°- α - β = 180° - 64° - 48° = 68°.

; ; ; ;

; ; ;

Ответ. γ = 68°, а = 13,6, b = 11,2.

Задача 2. Решение

b2 = a2 + c2 - 2ac cosβ; b2 = 576 + 324 - 2 ∙ 24 ∙ 18 ∙ cos15° 900 - 864 ∙ 0,9659 = 65,4624; b 8,09.

; ; ; ; α 50°.

γ = 180° - α - β 180° - 50° - 15° = 115°.

Ответ. b 8,09, α 50°, γ 115°.

Задача 3. Решение

a2 = b2 + c2 - 2bc cosα; 3025 = 441 + 1444 - 1596 cosα; cosα = - 0,7143; α 136°.

; ; ; β 15°.

γ = 180° - α - β 180° - 136° - 15° = 29°.

Ответ. α 136°, β 15°, γ 29°.

Задача 4. Решение

b2 = a2 + c2 - 2ac cosβ; b2 =1024 + 529 - 2 ∙ 32 ∙ 23 ∙ cos152° 1553 - 1472 ∙ (-0,8829) = 1553 + 1299,6288 = 2852,6288; b 53,4.

; ; ; ; α 16°.

γ = 180° - α - β 180° - 16° - 152° = 12°.

Ответ. b 53,4, α 16°, γ 12°.

II. Обобщение и систематизация теоретических

Фронтальная беседа

Ученики, пользуясь табл. 2, дают ответы на вопросы.

1. 1) Сформулируйте теорему косинусов.
2. 2) Объясните, как из формулы a2 = b2+ c2 - 2bc cosα найти cosα.
3. 3) Как можно определить вид треугольника (по углам), если известны стороны а, b, с?
4. 4) Сформулируйте теорему синусов.
5. 5) Сформулируйте теорему о соотношении между углами треугольника и противолежащими сторонами.
6. 6) Сформулируйте теорему о соотношении между сторонами треугольника и противолежащими углами.
7. 7) Как можно найти радиус круга, описанного вокруг треугольника, в котором известны сторона и противоположный угол?
8. 8) Каковы основные случаи решения произвольных треугольников?

Таблица 2

III. Формирование умений учащихся применять знания по решению треугольников к решению

Решение задач

1. 1. Две силы и образуют угол φ. Найдите их рівнодійну, если:

а) F1 = 8,6 Н, F2 = 6,5 Н, φ = 130°;

б) F1 = 9,7 Н, F2 = 10,8 H, φ = 75°.

(Ответ а) 6,7 Н; б) 16,3 Н.)

1. 2. Равнодействующая двух сил и равна . Найдите угол между силами и , если:

а) F1 = 62 Н, F2 = 50 Н, R = 47 Н;

б) F1 = 6,7 Н, F2 = 9,8 Н, R = 12,8 Н.

(Ответ а) 132°; б) 80°.)

1. 3. Чтобы найти расстояние до недоступной точки В от доступной точки, выполнили измерения (рис. 36):

а) AС = 19 м, A = 80°, C = 68°;

б) АС = 50 м, A = 65°, C = 80°.
Найдите расстояние АВ.
(Ответ а) 33; б) 86 м.)

1. 4. Объясните, как найти высоту х здания (рис. 37) за углами α и β и расстоянием d.

Решение

Пусть DC = d, BDA = α, BCD = β (рис. 37), тогда BDC = 180° - α, DBC = 180° - 180° + α - β = α - β. Из треугольника BDC имеем: ; , отсюда . Из треугольника ABD имеем: АВ = BD sinBDA = BD sina = ; .

Ответ. .

1. 5. Наблюдатель находится на расстоянии d от дерева, высоту которого хочет определить (рис. 38). Основу дерева наблюдатель видит под углом α к горизонту, а вершину дерева - под углом β к горизонту. Какова высота дерева?

Ответ. d(tgα + tgβ).

IV. Самостоятельная работа

Самостоятельную работу обучающего характера можно провести, воспользовавшись пособием [14], тест 4 «Решение треугольников».

V. Домашнее задание

1. 1. Объясните, как найти расстояние от точки А до недоступной точки В (рис. 39), зная расстояние АС и углы α и β.
2. 2. Решите треугольник: b = 12, α = 36°, β = 25°.

VI. Подведение итогов урока

Вопрос к классу

1. 1. Что значит решить треугольник?
2. 2. Составьте план решения треугольников, если заданы:

а) сторону b и два угла α и γ;

б) две стороны а и b и угол между ними γ.