УРОК № 11

Тема. Линейные неравенства с одной переменной

Цель урока: добиться усвоения учащимися содержания понятий: линейное неравенство с одной переменной, равносильные неравенства, равносильные преобразования неравенства и способов равносильных преобразований неравенств; схемы решения линейных неравенств с одной переменной. Выработать умения: воспроизводить содержание изученных понятий и алгоритмов; выполнять действия согласно схемы решения линейных неравенств с одной переменной и простейшие равносильные преобразования неравенств с использованием свойств числовых неравенств и следствий из них.

Тип урока: формирование знаний, выработка первичных умений.

Наглядность и оборудование: опорный конспект № 8.

Ход урока

I. Организационный этап

Учитель проверяет готовность учащихся к уроку, настраивает их на работу.

II. Проверка домашнего задания

Поскольку упражнения домашнего задания являются упражнениями репродуктивного (в основном) характера, то проверку домашнего задания можно осуществить или частично (только у учащихся, требующих дополнительного педагогического внимания), или можно предложить учащимся проверить ответы (правильные ответы заранее записаны за доской или розданы как карточки для самостоятельной проработки), или провести диагностическую самостоятельную работу [8, самостоятельная работа № 3, задача 1] с последующей проверкой.

III. Формулировка цели и задач урока.
Мотивация учебной деятельности учащихся

Для осознания учащимися необходимости изучения нового материала можно определенным образом создать проблемную ситуацию: предложить учащимся выполнить задания на проверку того, является ли данное число решением неравенства с одной переменной, а затем решить ту же неравенство (напомнив предварительно, что решить неравенство означает найти все ее решения или доказать, что их нет). Осознание учащимися невозможности решения конкретной задачи с применением тех знаний и умений, которыми они владеют, создает мотивацию к изучению вопроса о видах и способах решения простейших неравенств с одной переменной. Таким образом формулируется дидактическая цель урока, а также выделяются задания для учеников на урок.

IV. Актуализация опорных знаний и умений учащихся

Устные упражнения

1. Какое из чисел: -2; 3 - являются решением неравенства:

1) (х - 1)(х + 2) > 0;

2) 2х - 3 0?

2. Принадлежит промежутку [-3; 5,2) число:

1) -3; 2) 0; 3) 5; 4) 5,2; 5) 6?

3. Известно, что 5 а 7. Оцените значение выражения:

1) а + 1; 2) 3; 3) а - 3; 4) -3а; б) - 1; 6) .

4. Упростите выражение:

1) 4(x - 3) + 1;

2) 12 - 3(1 - 2x);

3) 5(2z + 7) + 14(5 - z);

4) х2 - 3х - 8 - х(х + 2).

5. Решите уравнение:

1) 3х = 6; 2) 0х = 0; 3) 0х = -3.

V. Формирование знаний

План изучения нового материала

1. Понятие равносильных неравенств. Равносильные преобразования неравенств.

2. Понятие линейного неравенства с одной переменной.

3. Схема решения линейного неравенства с одной переменной.

4. Как решить неравенство с одной переменной, что сводится к линейной. Примеры.

Методический комментарий

Согласно данного плана изложения материала формирование знаний учащихся на данном уроке начинается с изучения определения равносильных неравенств с одной переменной и продолжается изучением формулировок основных теорем равносильности (которые даются без доказательства и объясняются на примерах). Для лучшего понимания учащимися этого фрагмента материала урока можно предложить им сравнить свойства числовых равенств и неравенств и таким образом выявить как схожие, так и отличительные их черты. Результатом такого сравнения будет осознание учащимися существование определенных аналогий между понятиями «уравнение и его решения» и «неравенство и ее решения» и средств решения как одних, так и других (и акцентировать внимание на различиях - при умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число). Обратим внимание, что в разных источниках определение линейного неравенства с одной переменной даются несколько по-разному: в традиционных учебниках последних лет это неравенство вида ax > b (ax b, ax ≥ b, ax ≤ b), а например, в таблицах по алгебре для 7-11 классов [7] это неравенство вида ax + b > 0 (ax + b 0, ax + b ≥ 0, ax + b ≤ 0). Учащимся можно продемонстрировать оба определения и показать, что отличие первого состоит только в том, что описываемую неравенство уже сведено к виду, аналогичному виду линейных уравнений с одной переменной (ах = b).

Сравнивая линейные неравенства с одной переменной и линейные уравнения с одной переменной, следует заметить, что, учитывая существующую отличие рівносильної свойства (см. умножения или деления обеих частей неравенства на отрицательное число), в зависимости от знака неравенства, можно составить не одну схему решения линейного неравенства с одной переменной (особенно это касается случая, когда число равно 0), поэтому акцент надо делать не на заучивании схем, а на понимании действий, которые скрыты за этими схемами).

Завершающий этап изучения нового материала является практической частью (которая может быть подана как ответ на вопрос, поставленный в начале урока): на примере неравенства с одной переменной во время комментирования составляется примерная схема действий при решении неравенства с одной переменной, что сводится к линейной. Во время комментирования также уместным будет проведение параллелей с решением соответствующего уравнения с одной переменной.

Опорный конспект № 8

VI. Формирование умений

Устные упражнения

1. Определите и обоснуйте, равносильны данные неровности.
1) 3х > 3 и х > 3;

2. 2) 3х > 3 и х > 1;

3) 3 + х > 5 и х > 5;

4) 3 + х > 5 и х > 2.

3. Решите неравенство:

1) 3х > 3;

2) х + 3 > 5;

3) -3х > 3;

4) х - 3 > 5;

5) -х 6;

6) 0х 7;

7) 0х > 7.

4. Упростите выражение:

1) 8х - (х + 2);

2) 8х - 5(х + 2);

3) 9(х - 3) - 5(х + 2).

Письменные упражнения

Для реализации дидактической цели урока следует решить упражнения такого содержания:

1) проверить, являются ли данные два неравенства равносильны (используя свойства равносильности неравенств);

2) решить неравенства с одним неизвестным, сводящихся к линейным неравенством с одной переменной путем применения одного из изученных равносильных преобразований;

3) решить неравенства с одним неизвестным, сводящихся к линейным неравенством с одной переменной путем применения нескольких (или всех) изученных равносильных преобразований;

4) на повторение: уравнения с одним неизвестным, сводящиеся к линейным уравнениям с одной переменной путем предварительного умножения (или деления) обеих частей уравнения на одно и то же число - наименьший общий знаменатель всех дробей (или наибольший общий делитель всех коэффициентов).

Методический комментарий

Решение упражнений на этом этапе урока следует начать с упражнений, способствующих закреплению учащимися содержания понятий «равносильные неравенства» и «равносильные преобразования неравенств». При этом в процессе решения таких упражнений следует требовать от учащихся сознательного комментирования своих действий с использованием изученной терминологии.

Следующая группа задач имеет целью способствовать закреплению у учащихся знаний относительно схемы решения линейных неравенств с одной переменной и выработке у учащихся устойчивых умений решать линейные неравенства с одной переменной, так и выполнять равносильные преобразования неравенств с одной переменной.

Только убедившись в том, что основные навыки решения простейших неравенств с одной переменной у учащихся произведено, можно переходить к более сложным примерам, которые способствуют совершенствованию навыков тождественных преобразований.

Чтобы подготовить учеников к восприятию материала следующего урока (решение неравенств, содержащих дроби с числовыми знаменателями), на данном уроке учащимся предлагается несколько примеров на повторение: решение уравнений соответствующего вида.

VII. Итоги урока

Контрольные вопросы

1. Два неравенства называют равносильными?

2. Как (какими способами) можно с данной неравенства (с одной переменной) образовать равносильное ему неравенство?

3. Неравенства вида которого называют линейными неровностями с одной переменной? Приведите примеры.

4. Какие решения может иметь неравенство ах > b, если:

1) а > 0;

2) а 0;

3) а = 0, b > 0;

4) а = 0, b 0?

VIII. Домашнее задание

1. Изучить содержание утверждений, рассмотренных на уроке (см. опорный конспект № 8).

2. Решить упражнения на закрепление содержания понятия «равносильные преобразования неравенств» и на выработку умений решать линейные неравенства с одной переменной и такие, которые сводятся к линейным путем простейших равносильных преобразований (аналогичные по содержанию и уровню сложности упражнениям классной работы).

3. На повторение: решить уравнение (аналогичные решенным в упражнениях на повторение - см. классную работу) и решить упражнения на нахождение ОДЗ рациональных выражений.