УРОК № 10
Тема. Числовые промежутки. Пересечение и объединение промежутков
Цель урока: добиться усвоения учащимися содержания понятий: числовой промежуток, пересечение и объединение числовых промежутков, а также осознание учащимися существование различных видов числовых промежутков, соответствующих различным видам неровностей. Начать работу по выработке умений воспроизводить содержание изученных понятий, записывать числовые промежутки, соответствующие различным видам неравенств с одной переменной, находить пересечение числовых промежутков для решения системы неравенств с одной переменной, а также объединение числовых промежутков для решения совокупности неравенств с одной переменной. (Дополнительно: изучить в связи с этими вопросами способы решения простейших неравенств с одной переменной, содержащие переменную под знаком модуля.)
Тип урока: формирование знаний, выработка первичных умений.
Наглядность и оборудование: опорный конспект № 7.
Ход урока
I. Организационный этап
Учитель проверяет готовность учащихся к уроку, настраивает их на работу.
II. Проверка домашнего задания
Форма проведения этого этапа урока зависит от того, на каком уровне были сформированы знания и умения учащихся на момент окончания предыдущего урока. В случае, когда учащиеся на предыдущем уроке показали высокий или достаточный уровень усвоения знаний и умений, можно на этапе проверки домашнего задания провести обучающую самостоятельную работу с заданиями, содержание которых соответствует содержанию заданий домашней работы (по окончании выполнения работы обязательно проводится само - или взаємоперевірка и анализ ошибок с воспроизведением содержания соответствующих понятий). Если же ученики имели на предыдущем уроке определенные трудности с усвоением знаний и умений, то проверку домашнего задания можно провести по образцу или в форме игры «Найди ошибку». В любом случае проверка домашнего задания предусматривает воспроизведение содержания основных понятий, изученных на предыдущем уроке.
III. Формулировка цели и задач урока.
Мотивация учебной деятельности учащихся
На этом этапе уместно будет воспроизведение понятий, изученных на предыдущем уроке, и особенно работа с понятием «что значит решить неравенство с одной переменной (или систему таких неравенств или их совокупность)» и как записать ответ в случае выполненного решения. Учителю следует направить мысль учащихся на осознание того, что в большинстве случаев неравенства с одной переменной в отличие от уравнения имеют множество решений, а потому записать все развязки, перечислив их, просто невозможно. Таким образом делается вывод о существовании определенного противоречия между известными учащимся способами записи решений и невозможностью этими способами воспользоваться. Сознательное восприятие учениками этих утверждений приводит их к пониманию того, что на повестке дня встает вопрос об изучении новых способов записи решений неравенств, которые, с одной стороны, были бы полными, а с другой - лаконичными. То есть формулируется основная дидактическая цель урока.
IV. Актуализация опорных знаний и умений учащихся
Устные упражнения
1. Какое из чисел: 2; -0,2; 
- является решением:
1) неравенства 2х - 1 0; 2) системы неравенств 
3) совокупности неравенств 
4) уравнение 5х - 1 = 9?
2. Где на координатной прямой находятся числа, если они:
1) большие за число 3;
2) меньше число 3;
3) большие за число 3, но меньше числа 5;
4) являются решениями уравнения | x | = 3?
Сколько таких чисел существует в каждом из случаев 1-4?
V. Формирование знаний
План изучения нового материала
1. Содержание понятия «числовой промежуток».
2. Виды числовых промежутков (в зависимости от вида соответствующего неравенства). Примеры.
3. Сечение числовых промежутков. Как найти решение системы неравенств.
4. Объединение числовых промежутков. Как найти решение совокупности неравенств.
Опорный конспект № 7
Числовой промежуток - вид записи множеств, которые являются решениями неравенств с одной переменной.
Виды числовых промежутков |
|
Промежуток |
Пример |
|
|
1. а х b
|
2 x 3
|
|
|
2. а ≤ х ≤ b
|
2 ≤ х ≤ 3
|
|
|
3. х > а
|
х > -2
|
|
|
4. х ≥ а
|
х ≥ -2
|
|
|
5. х а
|
х 3
|
|
|
6. х ≤ а
|
х ≤ 3
|
|
|
Пересечение и объединение промежутков
Пример 1. Решим систему неравенств  (рис. 1).
|
|
Решения. (3; 5) - общая часть промежутков (3; + ∞) и (-∞; 5), (3; 5) - это сечение промежутков (3; + ∞) и (-∞; 5) (решение системы ).
Ответ: (3; + ∞) (-∞; 5) = (3; 5). |
Пример 2. Решим систему неравенств  (рис. 2). |
|
Решения. Промежуток (-1; 3) состоит из чисел, которые являются решением хотя бы одного из неравенств 2 х 3 или -1 х 2,5, поэтому является объединением этих промежутков (решением совокупности).
Ответ: (2; 3)  (-1; 2,5) = (-1; 3). |
Методический комментарий
Понятие числового промежутка обычно формулируется перед изучением вопроса о способах решения неравенств как одно из базовых. Заметим, что числовой промежуток традиционно трактуется как определенный вид записи решений неравенств, представляет собой запись числовой множества, которая является фактически частью координатной (числовой) прямой. После такого общего представления приводятся примеры различных неравенств с одной переменной, и таким образом формируется представление учащихся о различные виды числовых промежутков. При рассмотрении неравенств вида х > а и х а учащиеся знакомятся с понятием 
∞ (бесконечности) как условного способа обозначения чисел, левее/правее от всех других чисел на координатной прямой.
Также при изучении видов числовых промежутков ученики должны осознать, что между записью числовых промежутков, отвечающие строгим и нестрогим неравенствам, есть отличие (разные скобки), и игнорировать это различие будет означать записывать неправильно развязки данной неровности. Поскольку при записи числовых промежутков следует учитывать несколько моментов, то уже в самом начале изучения этого вопроса надо показать учащимся основные шаги правильного выполнения этой записи, а именно: сначала выполнить изображение числовой прямой, затем изобразить на ней числа, записанные в неровности, после чего штрихом обозначить промежуток, что соответствует неровности, далее записать его конце (слева направо), после чего ставить в записи скобки (согласно того, какой знак - сторогий или нестрогий - имеет это неравенство).
После изучения вопроса о виды числовых промежутков согласно различных видов неравенств с одной переменной формулируется представление о содержании понятия «пересечение и объединение числовых промежутков». Поскольку ученики не знакомы с основными понятиями теории множеств, содержание этих понятий уместно будет привязать к изученных на предыдущем уроке понятий «решения системы и совокупности неравенств». Все рассуждения подробно представленные в учебнике, поэтому учитель на свое усмотрение или предлагает учащимся самостоятельно по учебнику проработать этот материал, или осуществляет доведение во время фронтальной беседы.
В сжатой форме материал урока представлен в виде опорного конспекта № 7.
VI. Формирование умений
Устные упражнения
1. Принадлежит промежутке [-7; -4] число:
1) -10; 2) -6,5; 3) -3; 4) 1?
2. Или принадлежит промежутку (-4; 2) число:
1) 3,5; 2) -1; 3) 1,2?
3. Укажите наибольшее целое число из промежутка:
1) [-1; 4]; 2) (-∞; 3); 3) (-∞; -2,5).
Письменные упражнения
Для реализации дидактической цели урока следует решить упражнения такого содержания:
1) выполнить изображение данного числового промежутка на координатной прямой;
2) выполнить изображение на координатной прямой и потом записать числовой промежуток, соответствующий данной неравенства;
3) определить, какие из данных чисел принадлежат числовом промежутке;
4) найти пересечение и объединение данных числовых промежутков;
5) записать решения систем и совокупностей неравенств.
Методический комментарий
Упражнения, предлагаемые к решению на этом этапе урока, должны соответствовать по содержанию примерам, решенным в учебнике и в опорном конспекте № 7.
При выполнении предложенных упражнений на запись числовых промежутков ученики должны придерживаться последовательности действий, изложенной учителем при формировании знаний о видах числовых неравенств. Только в этом случае можно надеяться на формирование устойчивых умений выполнять правильные записи числовых промежутков, которые являются решениями неравенств и их систем.
VII. Итоги урока
Контрольное задание
Установите соответствие между неровностями и промежутками:
1) x > 3
2) х ≥ 3
3) 2 ≤ х 3
4) х ≤ 3
5) х ≤ 2
6) 
7)  |
а) (-∞; 3)
б) (3; +∞.)
в) (-∞; 2]
г) (-∞; +∞)
д) [3; + ∞)
есть) [2; 3]
есть) [2; 3)
ж) (-∞; 3] |
Какие записи лишние? Ответ обоснуйте.
VIII. Домашнее задание
1. Изучить содержание понятий: числовой промежуток, пересечение и объединение числовых промежутков, а также информацию о виды числовых промежутков.
2. Решить упражнения репродуктивного характера на применение изученных понятий.
3. На повторение: задачи, предусматривающие применение свойств числовых неравенств, решение линейных уравнений с одной переменной (разные случаи) и тождественные преобразования целых выражений.