Квадратичная функция

Квадратным тричленом называется многочлен вида

, где x - переменная, a, b и c - некоторые числа, причем

.
Корнем квадратного трехчлена называется значение переменной, которое превращает квадратный трехчлен на 0. Чтобы найти корни квадратного трехчлена, надо решить квадратное уравнение

.
Теорема. Если

- корни квадратного трехчлена

, то

.
Примеры
1)

;

или

.
2) Сократить дробь.
а)

;
б)

;
в)

;

.
Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида

, где x - независимая переменная, a, b, c - произвольные числа, причем

.
Графики функций

равны параболы, которые можно совместить параллельным переносом.
Любую функцию

можно представить в виде

, где m и

, n - некоторые действительные числа. А это означает, что график функции

можно получить с помощью двух параллельных переносов графика функции

.
Пример

;

.
Итак, чтобы получить график функции

, надо сделать графику функции

такие преобразования:
1) отобразить симметрично оси Ox;
2) сделать параллельный перенос на три единичных отрезка в направлении оси Ox;
3) сделать параллельный перенос на один единичный отрезок вниз.
Сделаем все эти преобразования и получим график функции

При построении параболы пользуются такими общими формулами и свойствами квадратичной функции.
1. Координаты вершины параболы

:
xв=

; yв=

или yв= y(xв).
Удобнее находить ординату вершины как значение функции, соответствующее значению аргумента x = xв.
2. Точки пересечения параболы с осями координат:
Абсцисса точки пересечения параболы с осью Oy равен 0, тогда

.
Ордината точек пересечения параболы с осью Ox равен 0, тогда, чтобы найти абсциссы этих точек, надо решить квадратное уравнение

.
Если это уравнение имеет два различных корня

, график пересекает ось Ox в точках

.
Если это уравнение имеет один корень (то есть

), то этот корень

.
Это означает, что вершина параболы лежит на оси Ox и имеет координаты

.
Если это уравнение не имеет корней

, парабола не пересекает ось Ox.
3. Направление ветвей параболы зависит от знака коэффициента a.
Если

, ветви параболы направлены вверх.
Если

, ветви параболы направлены вниз.
4. Парабола является симметричной относительно прямой

.
На рисунках, представленных ниже, приведены эскизы размещения параболы на координатной плоскости в некоторых случаях.
1)

;

; xв

.
2)

;

;
x1 = x2 = xв=
=

;

;
xв> 0;

;

;
xв=

;

;
x1= x2= xв=

;

;
xв=

Пример
Построить график функции

- ветви параболы направлены вниз.
xв=

; xв=

;
yв=

, yв=

.
Вершина: (3; 1).
Точка пересечения с осью Оу:

; (0; -8).
Точки пересечения с осью Ox:

;

.
(2; 0); (4; 0).
На примере этой функции покажем, как анализировать ее свойства.
1.

.
2.

;

- множество значений функции, т.е. множество всех значений y.
3.

при

и при

.
4. Точки пересечения графика с осями координат.
(0; -8); (2; 0); (4; 0).
5.

при

;

при

.
6. Функция возрастает при

функция убывает при

.
7. Наибольшее значение функции

, наименьшее значение функции нет.
8. График функции - парабола (см. рисунок ниже), что равняется параболе

, ветви которой направлены вниз, которая имеет вершину в точке (3; 1) и симметрична относительно прямой

Обратите внимание: любая парабола имеет один промежуток возрастания и промежуток убывания, причем ось Ox разбивается на эти промежутки точкой, которая соответствует точке xв.