Квадратичная функция
Квадратным тричленом называется многочлен вида

, где
x - переменная,
a,
b и
c - некоторые числа, причем

.
Корнем квадратного трехчлена называется значение переменной, которое превращает квадратный трехчлен на 0. Чтобы найти корни квадратного трехчлена, надо решить квадратное уравнение

.
Теорема. Если

и

- корни квадратного трехчлена

, то

.
Примеры
1)

,

,

;

.

или

.
2) Сократить дробь.
а)

;
б)


;
в)


,

;

.
Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида

, где
x - независимая переменная,
a,
b,
c - произвольные числа, причем

.
Графики функций

и

равны параболы, которые можно совместить параллельным переносом.
Любую функцию

можно представить в виде

, где
m и

,
n - некоторые действительные числа. А это означает, что график функции

можно получить с помощью двух параллельных переносов графика функции

.
Пример 
;


.
Итак, чтобы получить график функции

, надо сделать графику функции

такие преобразования:
1) отобразить симметрично оси
Ox;
2) сделать параллельный перенос на три единичных отрезка в направлении оси
Ox;
3) сделать параллельный перенос на один единичный отрезок вниз.
Сделаем все эти преобразования и получим график функции

:

При построении параболы пользуются такими общими формулами и свойствами квадратичной функции.
1. Координаты вершины параболы

:
xв
=

;
yв
=

или
yв
=
y(
xв
).
Удобнее находить ординату вершины как значение функции, соответствующее значению аргумента
x =
xв.
2. Точки пересечения параболы с осями координат:
Абсцисса точки пересечения параболы с осью
Oy равен 0, тогда

,

.
Ордината точек пересечения параболы с осью
Ox равен 0, тогда, чтобы найти абсциссы этих точек, надо решить квадратное уравнение

.
Если это уравнение имеет два различных корня

и

, график пересекает ось
Ox в точках

,

.
Если это уравнение имеет один корень (то есть

), то этот корень

.
Это означает, что вершина параболы лежит на оси
Ox и имеет координаты

.
Если это уравнение не имеет корней

, парабола не пересекает ось
Ox.
3. Направление ветвей параболы зависит от знака коэффициента
a.
Если

, ветви параболы направлены вверх.
Если

, ветви параболы направлены вниз.
4. Парабола является симметричной относительно прямой

.
На рисунках, представленных ниже, приведены эскизы размещения параболы на координатной плоскости в некоторых случаях.
1)

;

;


;

;

;
xв

.
2)

;

;
x1 =
x2 =
xв
=
=

;

.

3)

;

;
xв
> 0;

.

4)

;

;

;

,

;
xв
=

.

5)

;

;

;
x1
=
x2
=
xв
=

0.

6)

;

;

;
xв
=

.
ПримерПостроить график функции


.

- ветви параболы направлены вниз.
xв
=

;
xв
=

;
yв
=

,
yв
=

.
Вершина: (3; 1).
Точка пересечения с осью
Оу:

; (0; -8).
Точки пересечения с осью
Ox:

;

;

;

,

.
(2; 0); (4; 0).
На примере этой функции покажем, как анализировать ее свойства.
1.

.
2.

;

- множество значений функции, т.е. множество всех значений
y.
3.

при

и при

.
4. Точки пересечения графика с осями координат.
(0; -8); (2; 0); (4; 0).
5.

при

;

при

.
6. Функция возрастает при

функция убывает при

.
7. Наибольшее значение функции

, наименьшее значение функции нет.
8. График функции - парабола (см. рисунок ниже), что равняется параболе

, ветви которой направлены вниз, которая имеет вершину в точке (3; 1) и симметрична относительно прямой

.

Обратите внимание: любая парабола имеет один промежуток возрастания и промежуток убывания, причем ось
Ox разбивается на эти промежутки точкой, которая соответствует точке
xв.
Решение квадратных неравенств с помощью графиков
Если левой частью неравенства является выражение вида

, где

,
b,
c - данные числа, а правой - нуль, то такое неравенство называют
квадратным неравенством.
Квадратные неравенства удобно решать с помощью графиков квадратичных функций.
Для этого надо:
1) найти корни трехчлена

или выяснить, что их нет;
2) изобразить схематически график функции

, обращая внимание только на точки пересечения с осью
Ox и направление ветвей параболы в зависимости от знака коэффициента
а;
3) найти на оси
Ox промежутки, для которых выполняется данное неравенство.
Примеры
1)

,

,

,

,

.

На эскизе графика функции

(см. рисунок) найдем промежутки, на которых

.
Ответ:

.
2)

,

,

,

.

Ветви параболы графика направлены вниз (см. рисунок).
Ответ: (0; 0,9).
3)

,


,

- корней нет.
График функции не пересекает ось абсцисс (см. рисунок).
Ответ:

.
4)

,

,

.

График пересекает ось абсцисс в одной точке (см. рисунок).
Ответ:

.
5)

.
Ответ:

.
6)

.
Ответ:

.
7)

.
Ответ:

.
Очень удобно пользоваться таким простым правилом: квадратный трехчлен с положительным первым коэффициентом приобретает положительных значений «с корнями», а отрицательных - «между корнями»; и наоборот: квадратный трехчлен с отрицательным первым коэффициентом приобретает положительных значений «между корнями», а отрицательных - «с корнями».
Уравнения, сводящиеся к квадратным
Уравнение вида

, где

, называется
біквадратним.
Для его решения вводят новую переменную:

,

.
Примеры
1)

.
Пусть

,

.

. Решив это квадратное уравнение, найдем:

,

.

,

,

,

,

,

.

;

.
Ответ:

,

,

,

.
2)

.
Пусть

,

.

,

,

не удовлетворяет условие

.

,

,

.
Ответ:

,

.
3)

.
Пусть

,

.

,

;

.
t1 и
t2 не удовлетворяют условию

.
Ответ: корней нет.
Введение новой переменной дает возможность свести к квадратным и некоторые другие виды уравнений.
Примеры
1.

.
Пусть

,

.

,

,

не удовлетворяет условие

.

,

,

,

.
Ответ:

,

.
2.

.
Пусть

.
Тогда

,

,

,
Ответ:

,

.
а)

.

,

,
Ответ:

,

.
б)

.

,

,

;

.
Ответ:

,

,

,

.