Параллельные прямые
На рисунке изображены углы, образованные в результате пересечения двух прямых секущей:
и
;
и
- внутренние разносторонние углы при прямых
a,
b и секущей
c.
и
;
и
- внутренние односторонние.
и
;
и
- внешние односторонние.
и
;
и
- внешние разносторонние.
и
;
и
;
и
;
и
- соответствующие.
Свойства параллельных прямых
Теорема 1. Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то:
1) внутренние разносторонние углы равны;
2) сумма внутренних односторонних углов равна
;
3) внешние разносторонние углы равны;
4) сумма внешних односторонних углов равна
;
5) соответствующие углы равны.
На рисунке обозначены числами четыре пары углов. Теорема утверждает, что, если
, то
,
;
;
;
:
Теорема 2. Если прямая перпендикулярна к одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и ко второй.
Теорема 3. Через точку, не лежащую на прямой, можно провести прямую, параллельную данной.
Объединяя это утверждение с аксиомой IX, получаем: через точку, не лежащую на прямой, можно провести прямую, параллельную данной, причем только одну.
Признаки параллельности прямых
Теорема 1. Если при пересечении двух прямых третьей выполняется хотя бы одно из следующих условий:
а) внутренние разносторонние углы равны;
б) сумма внутренних односторонних углов равна
;
в) внешние разносторонние углы равны;
г) сумма внешних односторонних углов равна
;
д) соответствующие углы равны, то прямые параллельны.
Теорема 2. Две прямые, параллельные третьей, параллельны друг другу.
Теорема 3. Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны друг другу.