Урок 10

Тема. Признак мимобіжності прямых

Цель урока: изучение признаки мимобіжності прямых, формирование умений применять признак мимобіжності двух прямых к решению задач.

Оборудование: стереометрический набор, модели тетраэдра и куба.

Ход урока

И. Проверка домашнего задания

1. Проверить наличие выполненных заданий и ответить на вопросы, которые возникли у учащихся при выполнении этих заданий.

2. Самостоятельная работа.

Вариант И

1) Треугольник АВС и параллелограмм ABMN не лежат в одной плоскости, К, L - середины сторон АС и ВС соответственно. Докажите, что KL || MN . (4 балла)

2) Через концы отрезка АВ и его середину Μ проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость в точках А1, В1, М1. Найдите длину отрезка АА1, если ВВ1=b, MM1=m и отрезок АВ не пересекает плоскость. (8 баллов)

Вариант 2

1) Параллелограммы ABCD и ABMN не лежат в одной плоскости. Докажите, что CD || MN. (4 балла)

2) Через конец А отрезка АВ проведена плоскость. Через конец В и точку С этого отрезка проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках В1 и С1. Найдите длину отрезка СС1, если АС = а, ВС = b, ВВ1 = с. (8 баллов)

Вариант 3

1) Параллелограмм ABCD и трапеция ABMN (АВ - основание трапеции) не лежат в одной плоскости. Докажите, что CD || MN. (4 балла)

2) Через конец А отрезка АВ проведена плоскость. Через конец В и точку С этого отрезка проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках В1 и С1. Найдите длину отрезка АС, если ВС = b, СС1 = с, ВВ1 = а. (8 баллов)

Вариант 4

1) Трапеции ABCD и ABMN (АВ - основания трапеции) не лежат в одной плоскости. Докажите, что CD || MN. (4 балла)

2) Через конец А отрезка АВ проведена плоскость. Через конец В и точку С этого отрезка проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках В1 и С1. Найдите длину отрезка АВ, если АС = a, ВВ1 = b, СС1 = с. (8 баллов)

II. Восприятие и осознание нового материала

Признак мимобіжності прямых

Часто при решении задач необходимо выяснять: мымобіжні данные прямые? Пользуясь определением мимобіжності прямых, трудно ответить на этот вопрос. Поэтому сформулируем и докажем признак мимобіжних прямых.

Теорема.

Если одна из двух прямых лежит в плоскости, а вторая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

Доведення

Пусть прямая а лежит в плоскости α , а прямая b пересекает эту плоскость в точке А такой, что А α (рис. 38). Докажем, что прямые а и b скрещивающиеся. Допустим, что прямые a и b не скрещивающиеся, т.е. они лежат в некоторой плоскости β . Плоскость β проходит через прямую а и точку А и потому совпадает с плоскостью α . Таким образом, прямая b лежит в плоскости α, что противоречит условию. Следовательно, прямые a и b не лежат в одной плоскости, что и надо было доказать.

Выполнение упражнений

1. Дано в треугольнике пирамиду SABC (рис. 39). Доказать, что эти прямые скрещивающиеся.a) SC и АВ; б) SB и АС; в) AS и ВС.

2. Дан куб ABCDA1B1C1D1 (рис. 40). Доказать, что эти прямые скрещивающиеся.

а) АВ и СС1; б) АС1 и DC; в) AC и B1D1; г) АС1 и ВА1.

3. Треугольники АВС и ABD не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямые АВ и CD не лежат в одной плоскости.

4. Прямая с пересекает прямую a и не пересекает прямую b, параллельную прямой а. Докажите, что b и с - скрещивающиеся прямые.

III. Домашнее задание

Изучить признак мимобіжних прямых и решить задачу № 27 (с. 20). Выяснить, какое взаимное размещение прямых AD1 и АВ, DC иD1 в этой задаче.

IV. Подведение итога урока

Вопрос к классу

1) Какие прямые называются скрещивающимися?

2) Сформулируйте признак мимобіжності прямых.