Урок 9

Тема. Признак параллельности прямых

Цель урока: изучение признаки параллельности прямых, формирование умений применять признак параллельности к решению задач.

Оборудование: модели прямоугольного параллелепипеда и куба.

Ход урока

И. Проверка домашнего задания

1. Два ученика воспроизводят решения задач № 5 (1, 3) и 7 (1, 3).

2. Проведение теста на определение истинности математических утверждений.

Тест

В пространстве даны две различные прямые а и b, которые:

вариант 1 - лежат в некоторой плоскости;

вариант 2 - не лежат в одной плоскости.

Отметьте символом «+» правильные утверждения, символом «-» - неправильные.

1) Прямые α и b могут пересекаться.

2) Прямые a и b могут быть параллельными.

3) Прямые a и b могут быть скрещивающимися.

4) Через прямую a обязательно можно провести плоскость, которая пересекает прямую b.

5) Существует некоторая прямая с, пересекающая как прямую а, так и прямую b.

6) Обязательно существует прямая с, пересекающая прямую α и параллельна прямой b.

Ответ. Вариант 1. 1) +; 2) +; 3) -; 4) -; 5) +; 6) -.

Вариант 2. 1) -; 2) -; 3) +; 4) +; 5) +; 6) +.

II. Восприятие и осознание нового материала

Признак параллельности прямых

Как доказать параллельность двух прямых на плоскости? Можно воспользоваться определением или признаками параллельности, то есть теоремы, дающие достаточные условия параллельности. Вы изучали три признака параллельности прямых на плоскости: за равенством между собой внутренних разносторонних углов между двумя прямыми и секущей, за равенством суммы внутренних односторонних углов 180°, а также теорему, что две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой. Первые два признака параллельности не имеют аналогов для прямых в пространстве. Последний признак справедлива и в стереометрии. Сформулируем ее.

Теорема.

Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой.

Доказательство теоремы можно провести так, как это сделано в учебнике, причем теорему учитель сначала доказывает сам, а потом повторяет доказательство с учащимися, обращая внимание на такие вопросы: почему плоскости β и γ разные? Почему точка В не лежит на прямой с? Почему плоскость γ; пересекает плоскость β, а не пристает к β?

Можно доказать теорему 2.2 иным способом. Приведем его.

Доведение

Пусть b║a, с║а. Докажем, что b║с .

Прямые b и с не могут пересекаться. Иначе через точку их пересечения проходили бы две различные прямые, параллельные прямой а, что противоречило бы теореме 2.1.

Предположим, что прямые b и с - скрещивающиеся (рис. 36). Через параллельные прямые b и а, с и a проведем плоскость γ и β, а через прямую b и точку С прямой с - плоскость α. Пусть плоскости α и β пересекаются по прямой c1. Прямые а, с, c1 лежат в одной плоскости β, причем с║а. Поэтому прямая с1, которая пересекает с, пересекает прямую a в некоторой точке А. Прямые c1 и а лежат соответственно в плоскостях α и γ, поэтому их общая точка А принадлежит этим плоскостям, а следовательно, и их общей прямой b. Из предположения следует, что параллельные прямые a и b имеют общую точку А, что противоречит условию.

Следовательно, прямые b и с не могут ни пересекаться, ни быть скрещивающимися. Таким образом, b║с .

Выполнение упражнений

1. Дано изображение куба ABCDA1B1C1D1. Докажите, что;

а) АА1 || СС1; б) АВ || C1D1; в) AC || А1С1.

2. Верно ли утверждение: если прямые b и c не параллельны одной и той же прямой а, то b и c не параллельны между собой?

3. ABCDA1B1C1D1 - параллелепипед. Докажите, что плоскость АСС1 проходит через точку А,.

4. Прямые а и b параллельны, а прямые b и c не параллельны. Докажите, что прямые а и с не параллельны.

III. Закрепление и осмысление знаний учащихся

Решение задач

1. Треугольник АВС и трапеция ABED (АВ - основание) не лежат в одной плоскости. Точки Μ и N - середины сторон АС и ВС соответственно. Докажите, что ΜΝ || DE.

2. Задача № 11 из учебника (с. 19).

3. Точки К, L, Μ, Ν - середины ребер АВ, АС, CD, DB тетраэдра, все ребра которого равны. Найдите длину ребра тетраэдра, если периметр образовавшегося четырехугольника KLMN равна 4a (рис. 37).