УРОК 10

Тема. Свойства тригонометрических функций

Цель урока: изучение свойств тригонометрических функций у = sin х, у = cos х, у = tg х, у = ctg x (область определения; область значений; четность (нечетность); симметричность графиков; периодичность; нули; промежутки убывания (возрастания); промежутки знакопостійності; наибольшие и наименьшие значения).

И. Проверка домашнего задания

Проверить правильность построения графиков функций упражнения № 28 (а-г) с рисунками, сделанными к уроку.

II. Изучение свойств тригонометрических функций.

Свойства изученных тригонометрических функций удобно записать в таблицу 5. При заполнении таблицы возможны следующие комментарии:

1. Выражения sin х и cos x определены для любых x, поскольку для любого числа х можно найти координаты точки , единичного круга.

Выражение tg х имеет смысл при любом x, кроме чисел вида х = , n Ζ.

Выражение ctg x имеет смысл при любом x, кроме чисел вида х = πn, n Ζ.

2. Поскольку sin х и cos х - это ордината и абсцисса точки единичного круга, то областью значений синуса и косинуса является промежуток [-1; 1].

Поскольку tg α - это ордината точки линии тангенсов, то областью значений тангенса является R.

Поскольку ctg α - это абсцисса точки линии котангенсів, то областью значений котангенса является R.

3. Поскольку точки Рα и Г-α единичного круга (рис. 75) симметричны относительно оси ОХ, то эти точки имеют одинаковые абсциссы и ординаты противоположны, т.е. sin (-α) = -sin α; cos (-α) = cos α.

Поскольку точки Тα и Τ-α симметричные относительно Р0 линии тангенсов, то tg (-α) = -tg α.

Поскольку точки Qα и Q-α симметричные (рис. 77) относительно точки линии котангенсів, то ctg (-α) = - ctg α.

Можно доказать аналитическое, tg α и ctg α нечетные:

4. См. урок 8.

5. Ординату, равную нулю, имеют две точки (рис. 78) единичного круга: (1; 0) и (-1; 0). Эти точки образуются из точки (1; 0) поворотом на углы 0, π, 2π, 3π и т. д., а также на углы -π, -2π... Следовательно, sin х = 0, если х = nk, n Ζ.

6. Абсцису, равную нулю, имеют две точки единичного круга: (0; 1) и (0; -1). Эти точки образуются из точки (1; 0) поворотом на углы ; + π; + 2π и т.д., а также на углы - ; - + π; - + 2π, т.е. на углы +2πk, kZ (рис. 79). Следовательно, cos х = 0, если х = + πk, k Ζ.

7. См. урок 9.

8. Если угол α изменяется от - до , то ордината точки Ρα увеличивается от -1 до 1, т.е. sin α возрастает на промежутке , учитывая, что наименьшим периодом синуса есть 2π, делаем вывод, что sin α возрастает на промежутке , nΖ (рис. 80). Если угол α изменяется от до , то ордината точки Ρα уменьшается от 1 до -1, то есть sin α убывает на промежутке . Учитывая, что наименьший период синуса есть 2π, делаем вывод, что sin α убывает на промежутках , nΖ.

Если угол α изменяется от 0 до π, то абсцисса точки Рα уменьшается от 1 до -1, то есть cos α убывает на промежутке [0; π], если угол α изменяется от -π до 0, то абсцисса точки Ρα увеличивается от -1 до 1, т.е. cos α возрастает (рис. 81). Учитывая, что наименьший период косинуса является 2π, делаем вывод, что функция cos α убывает на промежутках [2πn; π + 2πn] и возрастает на промежутках [-π + 2πn; 2n], n Ζ.

При изменении угла α от - до ордината точки Тα линии тангенсов увеличивается от - к +, т.е. tg α возрастает на промежутке . Учитывая, что наименьший положительный период тангенса является π, делаем вывод, что tg α возрастает на каждом из промежутков , πΖ (рис. 82).

При изменении угла α от 0 до π абсцисса точки Qα линии котангенсів уменьшается от + к -, то есть ctg α убывает на промежутке (0; π). Учитывая, что наименьший положительный период котангенса является π, делаем вывод, что ctg α убывает на каждом из промежутков (πn; π + πn), nΖ.

11. Ординату, равную 1, точка (0; 1) единичного круга (рис. 84). Эту точку получим из точки (1; 0) поворотом на углы + 2πn. Следовательно, sin x = 1, если x = + 2πn, nΖ.

Абсцису, равное 1, имеет точка (рис. 85), образованная из точки (1; 0) поворотом на углы 2πn, nΖ. Следовательно, cos x = 1, если x = 2πn, nΖ.

12. Ординату, равную -1, имеет точка (рис. 86), образованная из точки (1; 0) поворотом на угол - + 2πn, nΖ. Следовательно, sin x = -1, если x = - + 2πn, nΖ. Абсцису, равную -1, имеет точка, образованная с точки Ρα поворотом (рис. 87) на угол π + 2πn, nΖ. Следовательно, cos x = -1, если х = π + 2πn, nΖ.