Объем шара

На рисунке изображен шар, шаровой сегмент и шаровой сектор.
Объем шара:
, где R - радиус шара.

Объем шарового сегмента:
, где H - высота шарового сегмента,
R - радиус шара.
Объем шарового сектора:
, где R - радиус шара, H - высота соответствующего шарового сегмента.
Иногда нужно найти объем или плоскость поверхности тела вращения. Чтобы правильно представить себе тело, которое образуется при вращении некоторого многоугольника вокруг некоторой прямой, полезно понимать, что происходит в таких простых случаях.
1. Отрезок вращается вокруг оси, на которой лежит один из его концов (см. рисунок ниже слева).
l - прямая. Проведем . Следовательно, точка является проекцией B на прямую l. Отрезок AB, вращаясь вокруг оси, образующей боковую поверхность конуса с вершиной A, высотой и радиусом основания .
2. Отрезок вращается вокруг оси, которой он является параллельным (см. рисунок ниже справа).
Спроектируем точки A и B на ось l.
Получим точки и .
Очевидно, что при вращении AB вокруг l получим боковую поверхность прямого кругового цилиндра, у которого AB - образующая, ось - прямая l, радиус основания - .

3. Отрезок вращается вокруг оси (см. рисунок), он не является ей параллельным и лежит с ней в одной плоскости, не пересекая оси.
Пусть точки и - проекции точек A и B на ось l соответственно.

При вращении AB вокруг l получим боковую поверхность усеченного конуса, у которого AB - образующая, - центр верхнего основания, - центр нижнего основания, - радиус верхнего основания, - радиус нижнего основания.
Если вокруг оси вращается какой-нибудь многоугольник, надо спроектировать на ось вращения все вершины многоугольника и разобрать, какие фигуры образуют все его стороны при вращении.