Часть 3 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ

Раздел 9 МАГНЕТИЗМ. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ТОКА

9.3. Магнитное поле постоянного электрического тока. Закон Био - Савара - Лапласа

В 1820 г. французские ученые Ж. Био и Ф. Савар исследовали магнитные поля, создаваемые в воздухе прямолинейным током, круговым током, соленоидом и т.д. На основе многих опытов они пришли к таким выводов:

а) во всех случаях индукция В магнитного поля электрического тока пропорциональна силе тока;

б) магнитная индукция зависит от формы и размеров проводника с током;

в) магнитная индукция В произвольной точке поля зависит от положения этой точки относительно проводника с током.

Ж. Био и Ф. Савар пытались найти общий закон, который бы дал возможность определить индукцию в каждой точке магнитного поля, образованного электрическим током, проходит по проводниках произвольной формы. Однако сделать это им не удалось. На их просьбу эту задачу решил выдающийся французский ученый П. Лаплас. Учитывая векторный характер индукции В, он высказал важную гипотезу о том, что индукция в каждой точке магнитного поля любого проводника с током является векторной суммой индукций Δ элементарных магнитных полей, образованных каждым участком Δl этого проводника (рис. 9.4). Иначе говоря, П. Лаплас воспользовался принципом суперпозиции для магнитных полей. Он обобщил результаты экспериментов Же. Био и Ф. Савара в виде дифференциального закона, который позже получил название закона Био - Савара - Лапласа:

В векторной форме закон Био - Савара - Лапласа имеет следующий вид:

где I - сила тока, проходящего по проводнику; Δ - вектор, численно равный длине Δl элемента проводника и по направлению совпадает с направлением электрического тока; - радиус-вектор, проведенный от элемента проводника Δl в исследуемую точку поля; r - модуль радиуса-вектора ; α - угол между Δl и радиусом-вектором ; k' - коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора единиц физических величин, входящих в формулы (9.4) и (9.5), а также от магнитных свойств окружающей среды. Направление вектора Δ определяется направлением векторного произведения [Δ,], а поэтому вектор S перпендикулярен к плоскости, содержащей векторы Δ I , и направленный так, что из конца вектора Δ поворот от вектора Δ до совмещения с вектором по кратчайшему путем происходит против хода стрелки часов.

Рис. 9.4

В СИ , где μ - относительная магнитная проницаемость среды, а μ₀ - магнитная постоянная. Тогда

Такую форму записи закона Био - Савара - Лапласа называют раціоналізованою. Далее будем пользоваться именно ею.

Формулы (9.4)-(9.6) определяют индукцию магнитного поля, вызываемое в данной точке А элементом тока Δl. Полная индукция магнитного поля в точке А равна векторной сумме Δ полей всех элементов, на которые условно разбит контур с током:

Кроме магнитной индукции вводится также другая векторная характеристика магнитного поля, которую называют напряженностью. Напряженность магнитного поля не зависит от магнитных свойств среды и характеризует магнитное поле, его создает ток.

В случае однородного и изотропного среды

Закон Био - Савара - Лапласа можно записать и для напряженности магнитного поля

или в векторной форме

Сравнение векторных характеристик электростатического ( и ) и магнитного ( и ) полей показывает, что аналогом вектора напряженности электростатического поля является вектор магнитной индукции , так и определяют силовые действия полей и зависят от свойств среды, в котором созданы соответствующие поля. В свою очередь, аналогом вектора электрической индукции является вектор напряженности магнитного поля.

Рассмотрим применение закона Био - Савара - Лапласа к расчету конкретных полей.

Определим индукцию магнитного поля тока, проходящего по бесконечно длинному прямолинейному проводнику, в точке А, которая размещена на расстоянии R от проводника (рис. 9.5). По законом Био - Савара - Лапласа элемент Δl_и проводника с током И создает в точке А магнитное поле с индукцией

Поскольку векторы Δ_i i _и для всех участков прямолинейного проводника находятся в плоскости рисунка, все векторы Δ_i, характеризующие магнитные поля, от отдельных элементов проводника в точке А направлены перпендикулярно к плоскости рисунка (к читателю). Это упрощает определение индукции результирующего магнитного поля. Вектор направленный также перпендикулярно к плоскости рисунка, а его модуль равен алгебраической сумме модулей векторов Δ:

Рис. 9.5

Из треугольников abc и Aba (см. рис. 9.5), которые имеют общую сторону аb, следует, что Отсюда

Разделив левую и правую части равенства (9.13) на r_i² и заменив r_i sin α_i = R, получим

Подставив выражение (9.14) в (9.12), перейдем к интегрированию, принимая Δα_i и Δl_i бесконечно малыми. В случае бесконечно длинного прямолинейного проводника угол φ изменяется от 0 до π. Эти значения возьмем за пределы интегрирование. Тогда можно записать

Следовательно, индукция В каждой точке магнитного поля бесконечно длинного прямолинейного проводника с током И прямо пропорциональна силе тока и обратно пропорциональна кратчайшему расстоянию этой точки от проводника с током.

Напряженность магнитного поля бесконечно длинного прямолинейного проводника с током определяют по формуле

Вычислим индукцию магнитного поля в центре кругового тока. Пусть ток проходит по кольцевому проводнику радиуса R. Тогда, по закону Био - Савара - Лапласа, индукция магнитного поля dВ от элемента dl в центре кольца будет

Поскольку в этом случае r = R и α = , то

Напряженность магнитного поля в центре кругового тока определяют из соотношения

Аналогично можно показать, что индукция и напряженность магнитного поля бесконечно длинного соленоида на его оси

где n - число витков, приходящееся на единицу длины соленоида.