Урок № 9

Тема. Ромб. Квадрат

Цель: работать над усвоением учащимися содержания определений, свойств и признаков ромба и квадрата. Формировать умения:

· воспроизводить выученные утверждение;

· применять свойства и признаки ромба и квадрата к решению типовых задач;

· применять свойства и признаки ромба и квадрата вместе с ранее изученными утверждениями в теме «Четырехугольники» к решению задач повышенного уровня сложности.

Тип урока: усвоение умений и навыков.

Наглядность и оборудование: конспект «Ромб, квадрат».

Ход урока

I. Организационный этап

II. Проверка домашнего задания

Проверку усвоения учащимися теоретического материала предыдущего урока можно провести в форме математического диктанта, или в форме беседы за теми самыми вопросами, которые включены в математический диктант.

Математический диктант

Вариант 1

1. Является ли прямоугольником параллелограмм, один из углов которого прямой?

2. Правильно, что каждый прямоугольник является параллелограммом?

3. Диагонали прямоугольника АЕКМ пересекаются в точке О. Отрезок АО равна 3 дм. Найдите длину диагонали ЭМ.

4. Диагонали четырехугольника равны. Обязательно ли этот четырехугольник является прямоугольником?

Вариант 2

1. Обязательно ли четырехугольник с прямым углом является прямоугольником?

2. Правильно ли, что каждый параллелограмм является прямоугольником?

3. Диагонали параллелограмма имеют длину 3 дм и 5 дм. Или этот параллелограмм является прямоугольником?

4. Сумма длин диагоналей прямоугольника равна 13 м. Найдите длину каждой диагонали.

@ Перед выполнением математического диктанта следует напомнить учащимся правила выполнения его задач, а именно: условие задач не записывается (ученики должны записать только номер вопроса), ответ должен быть кратким, но содержательным (т.е. в ответе должно быть аргументация - ссылка на соответствующее геометрическое утверждение).

Письменная часть домашнего задания подробно проверяется только у учащихся, требующих дополнительного педагогического внимания; в ходе фронтальной проверки правильности выполнения письменных заданий достаточно озвучить утверждение, которое было использовано во время решения задачи, а также добытую ответ.

III. Формулировка цели и задач урока

Чтобы создать условия для осознанного восприятия учащимися логики изучения материала, предлагаем им проанализировать, каким образом из произвольного параллелограмма образовалась новая фигура - прямоугольник (если все углы параллелограмма «сделать» равными, то «получается» прямоугольник). Далее учитель ставит вопрос: «Какие еще элементы параллелограмма можно сделать равными?» Конечно, большинство учеников дает правильный ответ (стороны). После чего формулируется следующий вопрос: «существует Ли параллелограмм, у которого все стороны и углы равны?» Получив утвердительный ответ, учитель выделяет таким образом два новых (то есть такие, которые ранее не изучались на уроках геометрии) геометрические объекты. Изучение определения, свойств и, возможно, признаков этих фигур, овладение способами их применения является основной дидактической целью урока.

IV. Актуализация опорных знаний и умений

С целью сознательного понимания и дальнейшего усвоения содержания определений, свойств, признаков ромба и квадрата следует активизировать знания и умения учащихся по определения, свойств и признаков параллелограмма, прямоугольника; определение, свойства и признаки равнобедренного треугольника.

Достижению этой цели будет способствовать решение устных задач.

Выполнение устных упражнений

1. Какие ошибки допустили во время изображения параллелограмма (рис. 1)?

2. В четырехугольнике ABCD AB = DC, AD = BC (рис. 2). Докажите, что ABCD - параллелограмм.

3. В паралелограмі ABCD AM - биссектриса угла А, ВН - биссектриса угла В (рис. 3). Докажите, что ВНАМ.

4. В паралелограмі ABCD через точку пересечения диагоналей проведен отрезок, концы которого лежат на его сторонах (рис. 4). Докажите, что ОМ = ОК.

V. Усвоение знаний

План изучения нового материала

1. Определение ромба.

2. Свойства ромба.

3. Признаки ромба.

4. Квадрат: определение, свойства.

@ Рассматривая вопрос об определение прямоугольника и ромба, следует обратить внимание учащихся на тот факт, что поскольку названные фигуры являются разновидностями параллелограмма, то и определение этих фигур дается через понятие параллелограмма (то есть речь идет о формулировке определений через родственное понятие); таким образом мы предупреждаем традиционные ошибки учеников, которых они допускают, формулируя определение прямоугольника (ромба) как четырехугольник, у которого... (далее идет перечень определенных признаков). Определение квадрата также формулируется по этому принципу, но в отличие от прямоугольника и ромба, для которых непосредственно родственным есть понятие параллелограмма, определение квадрата формулируется через понятие или ромба (у которого все углы прямые), либо через понятие прямоугольника (у которого все стороны равны). При этом заворачиваем внимание учащихся на эквивалентность этих двух определений.

Изучая свойства ромба и квадрата, так же как и во время рассмотрения вопроса о свойствах прямоугольника, следует сделать акцент на том, что из самих определений этих фигур следует большинство их свойств (для ромба - это все свойства параллелограмма, а для квадрата - это все свойства и прямоугольника, а следовательно и параллелограмма и ромба). Поэтому все, что следует сделать на этом этапе изучения материала, - это сформулировать изучены свойства, адаптировав их для названных фигур (понятно, что доказывать эти свойства не надо).

Другое дело, «дополнительные» свойства и признаки ромба.

1. Если все стороны четырехугольника равны, то этот четырехугольник - ромб.

2. Если соседние стороны параллелограмма равны, то этот параллелограмм - ромб.

3. Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями является ромбом.

4. Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его противоположных углов, то этот параллелограмм - ромб.

Поскольку они являются специфическими (т.е. выполняются только для ромба), то необходимо их доказать (доказательство можно провести за учебником или предложить ученикам выполнить его самостоятельно, или предложить в качестве индивидуального задания для сильных учеников).

Полный перечень утверждений, которые следует изучить с восьмиклассниками относительно ромба и квадрата, помещены в конспекте «Ромб. Квадрат».

VI. Формирование первичных умений

Выполнение устных упражнений

1. Назовите виды параллелограммов, в которых: а) все углы равны; б) все стороны равны; в) диагонали равны; г) диагонали перпендикулярны.

2. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О (рис. 5). Назовите: а) бісектрису треугольника ABD; б) высоту треугольника ABC; в) медиану треугольника BCD.

3. Диагонали квадрата A BCD пересекаются в точке О. Назовите все равны треугольники, которые образуются при пересечении диагоналей. Определите ее вид.

Выполнение графических упражнений

1. Начертите две перпендикулярные прямые, которые пересекаются в точке О. На одной из прямых отложите по разные стороны от точки В равные отрезки ОА и ОС, а на второй прямой - равные отрезки ОВ и OD. Совместите точки A, B, C и D.

а) Измерьте стороны четырехугольника ABCD и определите его вид.

б) Измерьте угол А четырехугольника ABCD. Пользуясь свойствами этого четырехугольника, найдите градусные меры остальных его углов. Проверьте результаты измерением.

в) Измерьте углы ADB и CDB. Выделите цветом все пары равных углов между диагоналями и сторонами четырехугольника.

2. Начертите прямоугольный треугольник ABD с гипотенузой BD. Проведите через вершины В и D прямые, параллельные сторонам AD и АВ соответственно. Отметьте точку С - точку пересечения этих прямых.

а) Измерьте стороны четырехугольника ABCD и определите его вид.

б) Проведите диагональ АС. Измерьте и сравните длины диагоналей четырехугольника.

в) Отметьте на прямых ВС и AD точки С1 и D1 так, чтобы четырехугольник ABC1D1 был квадратом.

Выполнение письменных упражнений

1. Найдите углы ромба, если:

а) один из них на 120° больше другого;

б) одна из его диагоналей равна стороне.

2. Найдите углы ромба, если:

а) углы, образованные его стороной с диагоналями, относятся как 1 : 4;

б) высота ромба вдвое меньше стороны.

3. Периметр квадрата равен 40 м. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей квадрата до его стороны.

4*. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат, две вершины которого лежат на гипотенузе треугольника, две другие - на катетах. Найдите периметр квадрата, если гипотенуза равна 18 см.

VII. Итоги урока

1. Какие общие свойства имеют ромб и квадрат?

2. Какие свойства квадрата не характерные для прямоугольника?

3. Является квадратом:

а) прямоугольник ABCD, диагональ AC которого является биссектрисой угла BAD;

б) ромб, диагонали которого равны;

в) параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны;

г) четырехугольник, все стороны которого равны?

VIII. Домашнее задание

Изучить содержание определения, свойства и признаки ромба и квадрата.

Решить задачи.

1. Найдите углы ромба, если:

а) сумма двух из них равна 220°;

б) диагональ образует с одной из сторон угол 25°.

2. Расстояние между противоположными сторонами квадрата равна 5 см. Найдите периметр квадрата.

3. Найдите углы ромба, если высота, проведенная из вершины тупого угла, отсекает от ромба равнобедренный треугольник.

Повторить изученный материал. Построить схему, что отражается связь между четырехугольниками, паралелограмами, прямоугольниками, ромбами и квадратами.