Системы линейных уравнений с двумя неизвестными
Если надо найти общие решения нескольких уравнений, то говорят, что эти уравнения образуют
систему уравнений.
Решение системы уравнений с двумя неизвестными - пара значений неизвестных, которая является решением каждого из уравнений системы.
Решить систему уравнений-значит найти все ее решения или доказать, что их нет.
Графический способ решения систем линейных уравнений
Чтобы решить систему уравнений графически, надо построить в одной системе координат графики уравнений системы и найти их общие точки. Координаты этих точек и являются решениями системы уравнений.
Исходя из того, что графиком линейного уравнения является прямая, делаем вывод, что система двух линейных уравнений с двумя неизвестными может иметь одно решение, не иметь решений, иметь множество решений.
Примеры
Решите графически систему линейных уравнений.
1)
Определим точки для построения графиков каждого из уравнений системы:
Для уравнения
y = 3 - x | Для уравнения
y = 2x - 3 |
| x | 0 | 3 | x | 0 | 1 |
| y | 3 | 0 | y | -3 | -1 |
Построим графики и найдем точку их пересечения (рисунок ниже).
Ответ:
.
2)
Для уравнения
y = 2x - 1 | Для уравнения
y = 2x - 3 |
| x | 0 | 1 | x | 0 | 1 |
| y | -1 | 1 | y | -3 | -1 |
Построим графики (рисунок на с. 45).
Ответ: решений нет.
3)
Прямые будут совпадать.
Ответ: система имеет множество решений, которые описываются уравнением
.
Способ подстановки
При решении систем линейных уравнений способом подстановки надо:
1) выразить из какого-либо уравнения системы одно неизвестное через другое;
2) подставить полученное выражение в другое уравнение системы вместо этого неизвестного;
3) решить полученное уравнение с одним неизвестным;
4) найти соответствующее значение другого неизвестного.
Примеры
1)
Ответ:
.
2)
Ответ:
.
Способ добавления
При решении системы уравнений способом сложения надо:
1) умножить обе части уравнений системы на такие числа, чтобы коэффициенты при одном из неизвестных стали противоположными (или равными) числами;
2) почленно прибавить (или вычесть) соответственно левые и правые части уравнений;
3) решить полученное уравнение с одним неизвестным;
4) найти соответствующее значение другого неизвестного.
Примеры
1)
Ответ:
.
2)
Ответ:
.
3)
Ответ:
.
4)
Добавим и вычтем почленно уравнения системы:
Ответ:
.