УРОК 7
Тема. Тригонометрические функции числового аргумента
Цель урока: Формирование понятия тригонометрических функций числового аргумента; изучение значений тригонометрических функций некоторых чисел (углов), изменения знаков тригонометрических функций в координатных четвертях.
И. Проверка домашнего задания
Решения аналогичных упражнений в домашних.
1. Подайте в радіанній мере углы:
а) 5°; б) 1140°; в) -765°; г) 67° 5'.
Ответ: а)
; б)
π; в)
π; г)
.
2. Подайте в градусной мере углы:
а)
; б) 1,25π; в) 1; г) 10.
Ответ: а) 105°; б) 225°; в) 57,32°; г) 573,25°.
3. Найдите длину дуги, если на нее опирается центральный угол α =
, а радиус круга равен 10 м.
Ответ: 9π м.
II. Восприятие и осознание понятий синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа
Рассмотрим на координатной плоскости круг радиуса 1 с центром в начале координат, которое называется единичным (рис. 43). Обозначим точку Ро - правый конец горизонтального диаметра. Поставим в соответствие каждому действительному числу α точку круга по следующим правилом:
1) Если α > 0, то, двигаясь по окружности из точки Ро в направлении против часовой стрелки (положительный направление обхода окружности), опишем по окружности путь длиной а, конечная точка этого пути и будет шуканою точкой Ρα.

2) Если α 0, то, двигаясь из точки Ρо (рис. 44) в направлении по часовой стрелке, опишем по окружности путь длиной |α|; конец этого пути и будет искомая точка Рα.

3) Если α = 0, то поставим в соответствие точку Ро.
Таким образом, каждому действительному числу можно поставить в соответствие точку Ρ0 единичного круга.
Если α = αа + 2πk, где k - целое число, то при повороте на угол α получаем одну и ту же точку, что и при повороте на угол αо.
Если точка Ρ соответствует числу α, то она отвечает и всем числам вида α + 2πk, где 2π - длина окружности (так как радиус равен 1), а k - целое число, которое показывает количество полных обходов окружности в ту или иную сторону.
Выполнение упражнений
1. Каким числам соответствуют точки Р0, Р, М, K, L, S (рис. 45), если известно, что Ν - середина дуги Р0К, а дуги Р0Р, РМ, МК - уровне.
Ответ: 2πn;
+2πn;
+2πn;
+ 2πn;
+ 2πn; π + 2πn; -
+ 2πn, n
Z.

2. Отметьте на одиночном круге точки, которые соответствуют числам:
а)
+ 2πn , -
+ 2πn,
+ 2πn, -
+ 2πn, где n
Ζ;
б)
+ 2πn ,
+ 2πn ,
+ 2πn,
+ 2πn, -
+ 2πn, где n
Ζ.
Ответ: а) рис. 46 (каждая четверть круга разделена на 2 равные части); б) рис. 47 (каждая четверть круга разделена на 3 равные части).


3. Отметьте на одиночном круге точки, которые соответствуют числам 1; 2; 3;-5. Ответ: рис. 48.

Синусом числа α называется ордината точки Рα, образованной поворотом точки Рα (1; 0) вокруг начала координат на угол в α радиан (обозначается sin α) (рис. 49).
Синус определен для любого числа α.
Косинусом числа α называется абсцисса точки Рα, образованной поворотом точки Рα (1; 0) вокруг начала координат на угол в α радиан (обозначается cos α) (рис. 49).
Косинус определен для любого числа α.

Выполнение упражнений
1. Вычислите:
a) cos 7π; б) sin 7π; в) cos
; г) sin
.
Ответ: а) -1; б) 0; в) 0; г) 1.
2. Вычислите:
a)
; б)
; в) sin π + sin 1,5π; г) cos0 + cos 3,5π - cos 3π.
Ответ: а) 0; б) -1; в) -1; г) 2.
Тангенсом числа α называется отношение синуса числа α к его косинуса:
.
Тангенс определен для всех а, кроме тех значений, для которых cos α = 0, т.е. α =
+ πn, n
Ζ.
Для решения некоторых задач полезно иметь представление о линии тангенсов (рис. 50). Проведем касательную t к единичного круга в точке Ρо. Пусть α - произвольное число, для которого cos α
0, тогда точка Рα (cos α; sin α) не лежит на оси ординат и прямая ОРα пересекает t в некоторой точке Тα с абсциссой 1. Найдем ординату точки Тα из треугольника ОРоТα.
; в = tgα.

Таким образом, ордината точки пересечения прямых ОРα и t равен тангенсу числа α. Поэтому прямую t называют осью тангенсов.
Котангенсом числа α называется отношение косинуса числа α к его синуса:
.
Котангенс определен для всех α, кроме таких значений, для которых sin α
0, то есть a = πn, n
Ζ.
Введем понятие линии котангенсів (рис. 51). Проведем касательную q до единичного круга в точке
. Для произвольного числа α, если sin α
0 и соответственно точка Рα (cos α, sin α) не лежит на оси ОХ и поэтому прямая ОРα пересекает прямую q в некоторой точке Qα с ординатой, равной 1. Из треугольника О
Qα имеем:
, отсюда х = ctg α. Таким образом, абсцисса точки пересечения прямой ОРα и q равен котангенсу числа α, поэтому прямую q называют осью котангенсів.

Выполнение упражнений
1. Вычислите: а) tg π; б) tg (-π); в) tg 4π; г) tg
.
Ответ: а) 0; б) 0; в) 0; г) не определен.
2. Определите знак числа: а) tg
; б) tg
; в) tg
; г) ctg
.
Ответ: а) минус; б) плюс; в) минус; г) минус.
III. Определение значений тригонометрических функций некоторых чисел
Из-за того что поворот на угол в α радиан совпадает с поворотом 180 на угол -
α градусов, аргумент синуса и косинуса можно выразить как в градусах, так и в радианах. Например, при повороте точки (1; 0) на угол
, то есть на угол 90º, поэтому sin
= sin 90° = 1, cos
= cos 90° = 0.
Заполним таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса некоторых чисел (таблица 4) или рассмотрим таблицу 2 (стр. 31) учебника и выполним упражнение 1.
Таблица 4
α |
0 |

|

|

|

|
π |

|
2π |
0° |
30° |
45° |
60° |
90° |
180° |
270° |
360° |
sin α |
0 |

|

|

|
1 |
0 |
-1 |
0 |
cos α |
1 |

|

|

|
0 |
-1 |
0 |
1 |
tg α |
0 |

|
1 |

|
не ипн. |
0 |
не ипн. |
0 |
ctg α |
не ипн. |

|
1 |

|
0 |
не ипн. |
0 |
не ипн. |
Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса других чисел можно найти с помощью математических таблиц или калькулятора.
Выполнение упражнений
1. Вычислите:
а) 3sin
+ 2cos
- tg
;
б) 5sin
+3tg
- 5cos
- 10ctg
;
в)
;
г) sin
· cos
- tg
.
Ответ: а)
; б)-7; в) -
; г) -
.
2. Вычислите с помощью микрокалькулятора: а) sin 1,5; б) cos 0,5; в) tg
; г) сtg
.
Ответ: а) 1,00; б) 0,88; в) 3,08; г) 2,75.
IV. Изучение изменения знаков тригонометрических функций
Число sin α - это ордината соответствующей точки Рα, поэтому sin α > 0, если точка расположена выше оси абсцисс, т.е. в i И II четвертях (рис. 52). Если эта точка лежит ниже оси абсцисс, то ее ордината отрицательная в третьей и четвертой четвертях.

Число cos α - это абсцисса точки Рα, поэтому cos α > 0 в i И IV четвертях, cos α 0 во II и III четвертях (рис. 53).

Так как
,
, то tg α > 0 и ctg α > 0, если sin α и cos α имеют одинаковые знаки, т.е. в i И III четвертях и tg α 0 и ctg α 0 в II и IV четвертях (рис. 54).
Выполнение упражнений
1. В какой четверти находится точка Ρα, если:
а) sin α > 0 и cos α > 0;
б) sin α > 0 и cos α 0;
в) sin α 0 и cos α > 0;
г) sin α 0 и cos α 0?
Ответ: а) И; б) II; в) IV; г) III.
2. Какой четверти принадлежит Рα, если:
а) sin α cos α > 0;
б) sin α cos α 0;
в) tg α cos α > 0;
г) ctg α sin α 0?
Ответ: а) И или III; 6) II или IV; в) i или II; г) II или III.
3. Найдите знак выражения:
а) cos
; б) sin
; в) ctg (π + α); г) tg
, если 0 α
.
Ответ: а) минус; б) плюс; в) плюс; г) плюс.
4. Определите знак выражения:
а) sin105° - cos105°; б) cos155° - sin255°; в) tg127° · ctg200°; г) tg351° · ctg220°.
Ответ: а) минус; б) плюс; в) минус; г) минус.
5. Определите знак произведения:
а) tg 2 · tg 3 · ctg 3 · cos 1; б) sin 1 · cos 2 · tg 3 · ctg 4.
Ответ: а) минус; б) плюс.
V. Итог урока
VI. Домашнее задание
Раздел И § 4. Вопросы и задания для повторения раздела И № 40-42, 46. Упражнения № 10, 12, 16, 21.