Тригонометрические функции числового аргумента - АЛГЕБРА - Уроки для 10 классов - конспекты уроков - План урока - Конспект урока - Планы уроков

УРОК 7

Тема. Тригонометрические функции числового аргумента

Цель урока: Формирование понятия тригонометрических функций числового аргумента; изучение значений тригонометрических функций некоторых чисел (углов), изменения знаков тригонометрических функций в координатных четвертях.

И. Проверка домашнего задания

Решения аналогичных упражнений в домашних.

1. Подайте в радіанній мере углы:

а) 5°; б) 1140°; в) -765°; г) 67° 5'.

Ответ: а) ; б) π; в) π; г) .

2. Подайте в градусной мере углы:

а) ; б) 1,25π; в) 1; г) 10.

Ответ: а) 105°; б) 225°; в) 57,32°; г) 573,25°.

3. Найдите длину дуги, если на нее опирается центральный угол α = , а радиус круга равен 10 м.

Ответ: 9π м.

II. Восприятие и осознание понятий синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа

Рассмотрим на координатной плоскости круг радиуса 1 с центром в начале координат, которое называется единичным (рис. 43). Обозначим точку Ро - правый конец горизонтального диаметра. Поставим в соответствие каждому действительному числу α точку круга по следующим правилом:

1) Если α > 0, то, двигаясь по окружности из точки Ро в направлении против часовой стрелки (положительный направление обхода окружности), опишем по окружности путь длиной а, конечная точка этого пути и будет шуканою точкой Ρα.

2) Если α 0, то, двигаясь из точки Ρо (рис. 44) в направлении по часовой стрелке, опишем по окружности путь длиной |α|; конец этого пути и будет искомая точка Рα.

3) Если α = 0, то поставим в соответствие точку Ро.

Таким образом, каждому действительному числу можно поставить в соответствие точку Ρ0 единичного круга.

Если α = αа + 2πk, где k - целое число, то при повороте на угол α получаем одну и ту же точку, что и при повороте на угол αо.

Если точка Ρ соответствует числу α, то она отвечает и всем числам вида α + 2πk, где 2π - длина окружности (так как радиус равен 1), а k - целое число, которое показывает количество полных обходов окружности в ту или иную сторону.

Выполнение упражнений

1. Каким числам соответствуют точки Р0, Р, М, K, L, S (рис. 45), если известно, что Ν - середина дуги Р0К, а дуги Р0Р, РМ, МК - уровне.

Ответ: 2πn; +2πn; +2πn; + 2πn; + 2πn; π + 2πn; - + 2πn, n Z.

2. Отметьте на одиночном круге точки, которые соответствуют числам:

а) + 2πn , - + 2πn, + 2πn, -+ 2πn, где n Ζ;

б) + 2πn ,+ 2πn , + 2πn, + 2πn, - + 2πn, где n Ζ.

Ответ: а) рис. 46 (каждая четверть круга разделена на 2 равные части); б) рис. 47 (каждая четверть круга разделена на 3 равные части).

3. Отметьте на одиночном круге точки, которые соответствуют числам 1; 2; 3;-5. Ответ: рис. 48.

Синусом числа α называется ордината точки Рα, образованной поворотом точки Рα (1; 0) вокруг начала координат на угол в α радиан (обозначается sin α) (рис. 49).

Синус определен для любого числа α.

Косинусом числа α называется абсцисса точки Рα, образованной поворотом точки Рα (1; 0) вокруг начала координат на угол в α радиан (обозначается cos α) (рис. 49).

Косинус определен для любого числа α.

Выполнение упражнений

1. Вычислите:

a) cos 7π; б) sin 7π; в) cos; г) sin .

Ответ: а) -1; б) 0; в) 0; г) 1.

2. Вычислите:

a) ; б) ; в) sin π + sin 1,5π; г) cos0 + cos 3,5π - cos 3π.

Ответ: а) 0; б) -1; в) -1; г) 2.

Тангенсом числа α называется отношение синуса числа α к его косинуса: .

Тангенс определен для всех а, кроме тех значений, для которых cos α = 0, т.е. α = + πn, n Ζ.

Для решения некоторых задач полезно иметь представление о линии тангенсов (рис. 50). Проведем касательную t к единичного круга в точке Ρо. Пусть α - произвольное число, для которого cos α 0, тогда точка Рα (cos α; sin α) не лежит на оси ординат и прямая ОРα пересекает t в некоторой точке Тα с абсциссой 1. Найдем ординату точки Тα из треугольника ОРоТα.

; в = tgα.

Таким образом, ордината точки пересечения прямых ОРα и t равен тангенсу числа α. Поэтому прямую t называют осью тангенсов.

Котангенсом числа α называется отношение косинуса числа α к его синуса: .

Котангенс определен для всех α, кроме таких значений, для которых sin α 0, то есть a = πn, n Ζ.

Введем понятие линии котангенсів (рис. 51). Проведем касательную q до единичного круга в точке . Для произвольного числа α, если sin α 0 и соответственно точка Рα (cos α, sin α) не лежит на оси ОХ и поэтому прямая ОРα пересекает прямую q в некоторой точке Qα с ординатой, равной 1. Из треугольника ОQα имеем: , отсюда х = ctg α. Таким образом, абсцисса точки пересечения прямой ОРα и q равен котангенсу числа α, поэтому прямую q называют осью котангенсів.

Выполнение упражнений

1. Вычислите: а) tg π; б) tg (-π); в) tg 4π; г) tg .

Ответ: а) 0; б) 0; в) 0; г) не определен.

2. Определите знак числа: а) tg ; б) tg ; в) tg ; г) ctg .

Ответ: а) минус; б) плюс; в) минус; г) минус.

III. Определение значений тригонометрических функций некоторых чисел

Из-за того что поворот на угол в α радиан совпадает с поворотом 180 на угол -α градусов, аргумент синуса и косинуса можно выразить как в градусах, так и в радианах. Например, при повороте точки (1; 0) на угол , то есть на угол 90º, поэтому sin = sin 90° = 1, cos = cos 90° = 0.

Заполним таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса некоторых чисел (таблица 4) или рассмотрим таблицу 2 (стр. 31) учебника и выполним упражнение 1.

Таблица 4

α	0					π		2π
α	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
sin α	0				1	0	-1	0
cos α	1				0	-1	0	1
tg α	0		1		не ипн.	0	не ипн.	0
ctg α	не ипн.		1		0	не ипн.	0	не ипн.

Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса других чисел можно найти с помощью математических таблиц или калькулятора.

Выполнение упражнений

1. Вычислите:

а) 3sin + 2cos - tg ;

б) 5sin +3tg - 5cos - 10ctg ;

в) ;

г) sin · cos - tg .

Ответ: а) ; б)-7; в) -; г) -.

2. Вычислите с помощью микрокалькулятора: а) sin 1,5; б) cos 0,5; в) tg ; г) сtg .

Ответ: а) 1,00; б) 0,88; в) 3,08; г) 2,75.

IV. Изучение изменения знаков тригонометрических функций

Число sin α - это ордината соответствующей точки Рα, поэтому sin α > 0, если точка расположена выше оси абсцисс, т.е. в i И II четвертях (рис. 52). Если эта точка лежит ниже оси абсцисс, то ее ордината отрицательная в третьей и четвертой четвертях.

Число cos α - это абсцисса точки Рα, поэтому cos α > 0 в i И IV четвертях, cos α 0 во II и III четвертях (рис. 53).

Так как , , то tg α > 0 и ctg α > 0, если sin α и cos α имеют одинаковые знаки, т.е. в i И III четвертях и tg α 0 и ctg α 0 в II и IV четвертях (рис. 54).