2-й семестр

МЕХАНИКА

4. Механические колебания и волны

Урок 5/64

Тема. Превращение энергии при колебательных движений

Цель урока: сформировать у учащихся умение применять закон сохранения энергии для вычисления полной механической энергии колеблющегося тела

Тип урока: изучение нового материала

План урока

ИЗУЧЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА

1. Превращение энергии при отсутствии трения

Как известно, если трением можно пренебречь, механическая энергия замкнутой системы сохраняется. Рассмотрим, как изменяются потенциальная и кинетическая энергии колебательной системы, на примере колебаний груза, подвешенного на нитке. Если вывести систему из положения устойчивого равновесия, то ее потенциальная энергия увеличивается. В случае возврата в положение устойчивого равновесия потенциальная энергия уменьшается, а кинетическая увеличивается. В положении равновесия кинетическая энергия системы является максимальной.

Следовательно,

Ø во время колебаний происходят взаимные периодические превращения потенциальной и кинетической энергий.

Это распространяется и на действие пружинного маятника, если массой пружины можно пренебречь по сравнению с массой груза.

Периодически повторяющиеся переходы энергии из одного вида в другой и обратно, сопровождающие колебания маятников, характерные для любых колебаний вообще и является их характерным признаком, как наличие положения устойчивого равновесия, инертность и малое трение.

2. Зависимость энергии колебательной системы от амплитуды колебаний

Покажем на примере колебаний груза на пружине, что энергия колебательной системы пропорциональна квадрату амплитуды колебаний. Действительно, полная энергия системы равна потенциальной энергии при максимальном отклонении от положения равновесия, потому что кинетическая энергия при этом равна нулю. Потенциальная же энергия при максимальном отклонении от положения равновесия равна где k - жесткость пружины, Аmах - амплитуда колебаний. Расчеты показывают, что энергия колебательной системы пропорциональна квадрату амплитуды колебаний для любых гармонических колебаний.

3. Скорость и ускорение во время колебаний

Какие максимальные значения скорости и ускорения во время колебаний? Ответить на этот вопрос поможет закон сохранения энергии. Рассмотрим колебания груза на пружине. Когда система проходит положение равновесия, его потенциальная энергия равна нулю, а кинетическая - максимальная и равна где m - масса груза, mах - максимальное значение модуля скорости.

Согласно закону сохранения энергии, кинетическая энергия во время прохождения системой положения равновесия равна ее потенциальной энергии за максимального отклонения от положения равновесия, то есть Отсюда имеем:

Вспомним, что где ω - циклическая частота.

Таким образом

Покажем, что точно такое соотношение связывает максимальное значение ускорения с максимальным значением скорости. Для гармонических колебаний справедливо уравнение ах = -ω2х, откуда получаем: ах = ω2Аmах. С учетом того, что ωАmах = mах, имеем: аmах = ωmах.

4. Превращение энергии при наличии трения

В любой реальной колебательной системе имеющееся трение, хотя во многих случаях его роль незначительна. Например, тяжелый грузик, подвешенный на достаточно длинной нити, может совершать малые колебания в течение многих часов.

Ø Колебания, амплитуда которых с течением времени не изменяется, называют незатухаючими.

Если же силы трения можно сравнить с силами упругости и тяготения, которые действуют в системе, то механическая энергия системы с течением времени заметно уменьшаться. Поскольку механическая энергия пропорциональна квадрату амплитуды, то в случае уменьшения энергии будет уменьшаться и амплитуда колебаний. В таком случае говорят, что колебания затухают.

Ø Колебания, амплитуда которых с течением времени уменьшается, называют затухающими.

График затухающих колебаний показано на рисунке.

Силы трения (или сопротивления в жидкостях или газах) могут быть настолько значительными, что колебания даже не возникнут. Например, если подвешенный на нити грузик погрузить в вязкую жидкость, то после отклонения от положения равновесия он плавно вернется в это положение и остановится.

5. Вынужденные колебания

Тело или систему тел можно «заставить» совершать колебания, прикладывая внешнюю периодическую силу. Скажем, качели можно раскачивать, периодически подталкивая ее.

Ø Колебания, происходящие под действием внешних сил, которые периодически изменяются, называют вынужденными.

Частота свободных колебаний определяется характеристиками системы. Эта частота называется собственной частотой и обычно обозначается v0.

Например, для пружинного маятника т.е. собственная частота v0 определяется жесткостью пружины и массой груза.

Для математического маятника т.е. собственная частота v0 определяется ускорением свободного падения и длиной маятника.

Ø Частота вынужденных колебаний любой колебательной системы всегда равна частоте внешней силы.

Амплитуда вынужденных колебаний не уменьшается со временем, даже если в системе имеется трение, потому что потери механической энергии, обусловленные трением, заполняются за счет работы внешних сил.

Вынужденные колебания широко применяются в различных вибрационных машинах, с помощью которых уплотняют грунт и бетон, забивают сваи в твердый грунт, бурят горные породы, прокладывают водопроводные трубы под землей.

6. Резонанс

Раскачивая качели, желательно толкать ее в такт с ее собственной частотой: в таком случае раскачки будет наиболее эффективным. Этот факт указывает на то, что амплитуда вынужденных колебаний существенно зависит от частоты внешней силы. Опыты показывают, что амплитуда вынужденных колебаний тем больше, чем ближе частота внешней силы к собственной частоте колебаний.

Ø Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний вследствие совпадении частоты внешней силы с собственной частотой системы называется резонансом.

В случае резонанса направления внешней силы совпадает с направлением движения, поэтому в течение каждого колебания внешняя сила выполняет положительную работу. Именно эта «согласованность» и вызывает резонанс. Если же частота внешней силы отличается от собственной частоты системы, внешняя сила будет направляться то в направлении движения, то против него. В результате действие внешней силы будет значительно менее эффективной.

Ø График зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты изменения внешней силы называют резонансной кривой.

На рисунке построен график зависимости амплитуды колебаний А от частоты v внешней силы, изменяющейся периодически, при разных сил трения в колебательной системе, собственная частота колебаний которой равна v0.

Проанализировав график можно сделать два вывода:

1) наибольшая амплитуда колебаний под действием внешней силы достигается тогда, когда частота изменения внешней силы совпадает с частотой свободных колебаний;

2) чем больше в системе сила трения, тем меньше пик резонансной кривой, т.е. слабее выражен резонанс.

7. Применение резонанса и борьба с ним

Явление резонанса используется в музыкальных инструментах для усиления звука. Резонанс применяется во многих приборах, в том числе и измерительных. Его часто используют также, когда нужно сдвинуть с места что-нибудь тяжелое, например, застрявший автомобиль. В таком случае подбирают частоту толчков так, чтобы она совпала с собственной частотой системы, в результате амплитуда колебаний возрастает и в конце концов становится настолько большой, что тело уже не возвращается в прежнее состояние.

Случается, что резонанс приводит даже к разрушению зданий и мостов. Опасным является резонанс и во время работы любых машин, у которых есть части, которые вращаются или движутся периодически (а такие части есть практически во всех машинах). Например, «разбалансировка» вала станка или двигателя проявляется в том, что во время вращения вала возникает периодическая сила, действующая на основание механизма, а через нее - на здание. Если частота этой силы окажется близкой к собственной частоты здания, амплитуда колебаний здания может возрасти настолько, что это приведет к разрушениям.

Чтобы избежать нежелательных проявлений резонанса, действуют двумя способами:

1) «розузгоджують» частоты, совпадение которых может привести к резонансу. Для этого изменяют или частоту внешней силы, или собственную частоту системы;

2) увеличивают затухание колебаний, например, ставят двигатель на резиновую подложку или на пружины.

Вопрос к ученикам во время изложения нового материала

1. Что такое механическая энергия?

2. Что такое потенциальная и кинетическая энергии?

3. В каких точках траектории колеблющееся тело имеет только кинетическую энергию?

4. В какие моменты движения колеблющееся тело имеет только потенциальную энергию?

5. По какой причине затухают колебания?

6. Приведите примеры вынужденных колебаний.

7. Приведите примеры полезного использования резонанса.

8. В каких случаях необходимо избегать резонанса?

ЗАКРЕПЛЕНИЕ ИЗУЧЕННОГО МАТЕРИАЛА

1). Тренируемся решать задачи

1. Во сколько раз нужно увеличить амплитуду колебаний, чтобы энергия колебательной системы увеличилась в 9 раз?

2. Пружинный маятник совершает гармонические колебания с амплитудой 0,04 м. Если смещение - 0,03 м, сила упругости равна 9-Ю-5 Н. Вычислите потенциальную и кинетическую энергии, соответствующие этому смещению, и полную энергию маятника.

3. Колебания груза массой 1 кг на пружине описывается уравнением Вычислите:

а) полную механическую энергию системы;

б) максимальную скорость груза во время его колебания;

в) жесткость пружины.

4. Маленький шарик подвешен на нити длиной 1 м к потолку вагона. При какой скорости вагона шарик будет особенно сильно колебаться под действием ударов колес о стыки рельсов? Длина рельса - 12,5 м. (Ответ: 6,23 м/с).

5. В вагоне поезда подвесили маятник длиной 1 м. Во время движения поезда маятник раскачивается от толчков на стыках рельсов. При какой скорости поезда маятник розгойдуватиметься особенно сильно, если длина рельсов - 25 м?

2). Контрольные вопросы

1. Что происходит с полной механической энергией колеблющегося тела при отсутствии трения?

2. Что происходит с полной механической энергией колеблющегося тела при наличии трения?

3. Где можно использовать явление резонанса?

4. Почему в результате определенной скорости движения окна автобуса начинают сильно дребезжать?

5. Если нести ведра с водой, то при определенной скорости движения вода начинает выплескиваться. Что необходимо сделать, чтобы выплескивание воды прекратилось?

Что мы узнали на уроке

• Во время колебаний происходят взаимные периодические превращения потенциальной и кинетической энергий.

• Энергия колебательной системы пропорциональна квадрату амплитуды колебаний.

• Скорость и ускорение во время колебаний:

• Колебания, происходящие под действием внешних сил, которые периодически изменяются, называют вынужденными.

• Частота вынужденных колебаний любой колебательной системы всегда равна частоте внешней силы.

• Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний вследствие совпадении частоты внешней силы с собственной частотой системы называется резонансом.

• График зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты изменения внешней силы называют резонансной кривой.

Домашнее задание

1. П.: § 43.

2. 36.: № 20.19; 20.20; 20.42; 20.43; 20.45; 20.59.