Урок № 63

Тема. Тематическая контрольная работа № 5

Цель: проверить уровень усвоения учащимися знаний относительно содержания основных понятий темы; проверить качество сформированных умений по применению полученных знаний для изображения фигур по условию задачи, а также для решения стандартных и нестандартных задач.

Тип урока: контроль и коррекция знаний и умений.

Ход урока

I. Организационный этап

II. Проверка домашнего задания

Собрать тетради с выполненной домашней контрольной работой (работу проверить и учесть при выставлении тематического балла).

III. Формулировка цели и задач урока

ИV. Условие тематической контрольной работы № 5

Вариант 1

Начальный уровень

1. На рисунке в прямоугольном треугольнике ABC B = 90°, A = α.

а) Выразите cos α;

б) выразите гипотенузу АС через катет ВС и тригонометричну функцию угла α;

в) выразите sin C через тригонометричну функцию угла α.

Средний уровень

2. Упростите выражение 3 sin2 α + 3 cos2 α.

3. Синус острого угла втрое больше его косинус. Чему равен тангенс данного угла?

Достаточный уровень

4. Решите прямоугольный треугольник с гипотенузой 6 см и острым углом 30°.

5. Найдите тангенс острого угла α, если cos α = 0,8.

Высокий уровень

6. Найдите высоту и боковую сторону рівнобедреної трапеции с основаниями 2 и 8 и острым углом α.

Вариант 2

Начальный уровень

1. На рисунке в прямоугольном треугольнике ABC A = 90°, C = γ.

а) Выразите sin γ;

б) выразите катет АВ через катет АС и тригонометричну функцию угла γ;

в) выразите cos γ через тригонометричну функцию угла γ.

Средний уровень

2. Упростите выражение 2 - sin2 α - cos2 α.

3. Синус острого угла в два раза меньше его косинус. Чему равен тангенс данного угла?

Достаточный уровень

4. Решите прямоугольный треугольник с катетом 4 см и прилежащим углом 60°.

5. Найдите тангенс острого угла α, если sin α = 0,6.

Высокий уровень

6. Найдите диагонали ромба со стороной 6 и острым углом α.

V. Итоги урока

Как вариант проведения этого этапа урока можно предложить (после выполнения работы) объявления правильных ответов к заданиям, выполненных учениками; или раздать ученикам для работы дома (домашний анализ контрольной работы) копии правильных решений заданий контрольной работы № 5 (заготовленных учителем заранее).

VI. Домашнее задание

Выполнить анализ контрольной работы (за розданными разрешениями).

Устные упражнения

1. Из каждой вершины параллелограмма можно провести два перпендикуляры на его стороны. От руки выполните эту постройку. (Параллелограмм изображено на доске в нестандартном положении.)

2. Раскройте смысл утверждения: «Данный четырехугольник ABCD не является квадратом».

3. Покажите, что рассуждение: «Поскольку в четырехугольнике ABCD две стороны параллельны, а две другие равны между собой, то этот четырехугольник - параллелограмм» - ложное.

4. Лист бумаги имеет форму трапеции, один из углов которой оторван (рис. 1). Как найти длины всех сторон этой трапеции?

5. Докажите, что на рис. 2 треугольники АВМ и DCM подобные. Запишите равенство отношений соответствующих сторон.

6. Нa рис. 3 1 = 2, 3 = 4, AMB = 120°. Найдите угол х.

7. Назовите общие и отличительные свойства прямоугольника и ромба.

8. Диктант.

1) Начертите четырехугольник, диагонали которого равны, но который не является прямоугольником.

2) Начертите четырехугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны, но который не является ромбом.

3) Начертите четырехугольник, диагонали которого равны и перпендикулярны, но который не является квадратом.

9. Стороны прямоугольника равны 12 см и 16 см. Чему равен радиус круга, описанного вокруг этого прямоугольника?

10. Какие слова можно опустить, чтобы не потерять содержания таких утверждений:

1) Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

2) Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то противоположный ему угол равен 30°?

11. Закончите предложение: «Если в паралелограмі нет ни одного острого угла, то он есть...». Объясните.

12. Сколько достаточно знать сторон параллелограмма, чтобы можно было найти его периметр? Сколько достаточно знать углов параллелограмма, чтобы можно было вычислить все остальные его углы?

13. Диктант.

1) Если диагональ параллелограмма делит его угол пополам, то угол между диагоналями равен... градусов, потому что...

2) Если диагональ ромба образует с его стороной угол 36°, то тупой угол ромба равен...

3) Угол между осями симметрии ромба равна..., потому что его осями симметрии является...

4) Если угол между диагоналями прямоугольника прямой, то он ..., потому что...

5) Если диагональ ромба равна его стороне, то углы ромба равны...

14. Верно ли утверждение: «В четырехугольнике наименьший угол равен 95°»? Обоснуйте.

15. На рис. 4 1 = 2 = 45° , МН || АС, НК || ВС. Докажите, что СМНК-квадрат.

16. BD - медиана равностороннего треугольника ABC. Найдите .

17. На рис. 5 MB - касательная, АВ - диаметр. Найдите пару подобных треугольников. Запишите равенство отношений соответствующих сторон.

18. На рис. 6 1 = 2 . Какие треугольники подобны? Запишите равенство отношений соответствующих сторон.

19. Хватит куска проволоки длиной 20 см, чтобы изготовить треугольник, одна из сторон которого равна 12 см?

20. Как можно иначе назвать такие фигуры:

1) рівнокутний треугольник;

2) рівнокутний четырехугольник;

3) равносторонний четырехугольник;

4) прямоугольный ромб;

5) равносторонний прямоугольник?

21. В теореме Пифагора назовите условие и заключение.

22. На рис. 7 AB = ВС, АН = СК. Докажите, что ΔАВК = ΔСВН.

23. Сколько осей симметрии имеет ромб; прямоугольник; квадрат?

24. Сколько тупых углов может быть в трапеции? Ответ объясните.

25. Могут ли быть подобными прямоугольник и ромб?

26. Сформулируйте утверждения, обратные к таким:

1) Если четырехугольник - ромб, то его диагонали перпендикулярны.

2) Если α > β, то sin α > sin β (α, β - острые углы). Правильные ли они?

27. Упростите: cos2 43° + cos2 47°.

28. Упростите: cos2 150° + cos2 120° - cos2 90°.

29. Что больше: sin 25° или tg 25°? Почему?

30. Вычислите: sin 45° · cos 45°?

31. Вычислите: 2 cos 0° + 3 sin 90o + 4 tg 180°.

32. Чему равна сумма квадратов косинусов всех углов прямоугольного треугольника?

33. На рис. 8 ABCD - ромб. М - середина AD. Чему равен угол D?

34. В трапеции ABCD (рис. 9) АО = ОD. Докажите, что АВ = CD.

35. Упростите: (sin α + cos α)2 + (sin α - cos α)2.

36. Перечислите все свойства ромба. Какие из них правильные для любого параллелограмма; только для ромба? Какие из этих свойств неправильные для произвольного прямоугольника?

37. Какая из фигур на рис. 10 лишняя? Ответ обоснуйте.

38. Что это за параллелограмм, если:

а) один из его углов не является тупым;

б) вокруг него можно описать окружность;

в) в него можно вписать окружность?

39. Найдите сторону ромба, если его диагонали равны 8 см и 6 см.

40. Высота ромба ABCD лежит на биссектрисе угла ABD. Определите углы ромба.

41. Найдите сторону квадрата, равновеликого прямоугольнике со сторонами 4 см и 9 см.

42. Стороны параллелограмма равны 9 см и 6 см, а острый угол - 30°. Найдите высоту этого параллелограмма, проведенная к стороне длиной 9 см.

43. Найдите площадь прямоугольника, если угол между его диагоналями 30°, а диаметр описанной окружности равен 4 м.

44. Найдите плоту параллелограмма, если его стороны равны см и 2 см, а высоты образуют угол 60°.

45. AM и ВК - биссектрисы углов параллелограмма ABCD, AM - 6 см, ВК - 8 см. Найдите площадь четырехугольника АВМК.

46. Из точки пересечения диагоналей параллелограмма проведена отрезок длиной 5 см и под углом 30° к стороне параллелограмма. Найдите высоту параллелограмма, проведенную к этой же стороны.

47. Высота параллелограмма образует с его стороной угол 20°. Найдите углы параллелограмма.

48. Из одной вершины параллелограмма проведены биссектриса и высота, угол между ними составляет 32°. Найдите углы параллелограмма.

49. Биссектриса тупого угла параллелограмма равна 5 см и пересекает его сторону под углом 60°. Найдите меньшую сторону параллелограмма.

50. Биссектриса угла параллелограмма разбивает его сторону на отрезки 9 см и 6 см. Найдите периметр параллелограмма.

51. Средняя линия трапеции равна 6 см. Вычислите периметр этой трапеции, если известно, что ее можно разрезать на ромб и равносторонний треугольник.

52. В рівнобічній трапеции основы равны 26 см и 14 см, а боковая сторона - 10 см. Найдите высоту этой трапеции.

53. Углы при основании трапеции равны 90° и 45°. Одна из основ в три раза больше второй и равна 18 см. Найдите меньшую боковую сторону трапеции.

54. Основы рівнобічної трапеции равны 17 см и 9 см, а угол между боковой стороной и основанием - 45°. Найдите площадь трапеции.

55. Найдите площадь рівнобічної трапеции, высота которой равна 7 см, а диагонали взаимно перпендикулярны.

56. Из точки А к окружности проведены касательные АВ и АС. Найдите величину угла А, если ABC = 40°.

57. К окружности радиуса 5 см проведено касательную в точке В. На касательной обозначено точку А на расстоянии 12 см от точки В. Найдите расстояние от точки А до центра окружности.

58. Вычислите площадь круга, если длина его окружности равна 18см.

59. Определите длину окружности, если площадь круга равна 48π см2.

60. Во сколько раз увеличится длина окружности, если площадь его круга увеличить в 16 раз?

61. В круге, площадь которого 6,25 π см2, проведено хорду длиной 3 см. Найдите расстояние от центра круга до хорды.

62. Найдите длину хорды, которую видно из центра единичного круга под углом 45°.

63. Найдите длину дуги АВ, если хорда АВ равна радиусу круга.

64. Один из углов равнобедренного треугольника равен 92°. Найдите величины всех других углов.

65. Периметр равнобедренного треугольника равен 26 см, а его основание - 10 см. Найдите боковую сторону треугольника.

66. Найдите боковую сторону равнобедренного треугольника, если его медиана равна 12 см, а основание - 18 см. Рассмотрите все возможные случаи.

Интересные задачи

1. Тестовые вопросы

В паралелограмі ABCD (рис. 1) AM - биссектриса угла A, MN || АВ. Известно, что АВ = 10 см, AD = 15 м. Учитель называет отрезок, а ученик быстро отвечает, чему равна длина указанного отрезка:

1) MN; 2) ВМ; 3) AN; 4) ВС; 5) AN; 6) ND; 7) МС.

2. Дан параллелограмм. Проведите два отрезка так, чтобы получилось четыре пары равных треугольников.

3. Известно, что в паралелограмі ABCD АВ = ВК = КС = CD (рис. 2). С помощью только линейки постройте прямой угол.

4. Отметьте три точки, лежащие на одной прямой, не проводя, собственно, прямой.

5. На плоскости обозначены четыре точки: А, В, С, D (рис. 3). Витя Тяп-ляпкин проверяет, будут ли они вершинами прямоугольника, таким образом: находит середину отрезка АС - точку О, проводит круг с центром в точке О и радиусом ОА. Если другие две точки (В и D) лежат на этом круге, то ABCD является прямоугольником, а если не лежат, то ABCD не с прямоугольником. Так ли это?

6. ABCD - четырехугольник (рис. 4а). Проведем высоту из точки В на основание AD. «Отрежем» полученный треугольник и «приставим» его вправо (рис. 4б). Какой должна быть исходная фигура, если в результате получили квадрат?

7. В треугольнике ABC A = B (рис. 5), CMNK- квадрат. Назовите равные отрезки. Докажите их равенство.

8. 1) В некотором четырехугольнике диагонали равны, но он не прямоугольник, диагонали взаимно перпендикулярны, но он не ромб. Что это за фигура?

2) В некотором четырехугольнике есть и равные стороны, и параллельные стороны, а диагонали в нем равны и перпендикулярны, но он не квадрат. Что это за фигура?

3) В некотором четырехугольнике две стороны равны, две другие стороны тоже равны, равной диагонали взаимно перпендикулярны, но это не квадрат. Что это за фигура?

9. На взаимно перпендикулярных прямых:

1) а1 и а2; 2) b1 и b2; 3) с1 и с2; 4) d1 и d2 отметьте по две точки так, чтобы полученные четыре точки стали вершинами:

а) квадрата;

б) ромба, не являющегося квадратом;

в) прямоугольника, не являющегося квадратом;

г) параллелограмма, не являющегося ромбом.

10. Игровой момент

Учитель. Я начертил трапецию на листе бумаги. Задайте только один вопрос и, выслушав ответ, скажите, будет она рівнобічною?

11. Игровой момент

Учитель. Однажды Витя Тяпляпкін построил трапецию из четырех прямоугольных треугольников. Сможете ли вы повторить его достижение? А «улучшить» (то есть использовать меньшее количество треугольников)?

12. В некотором четырехугольнике известно один из углов. Какого вида должен быть этот четырехугольник, чтобы можно было вычислить все остальные его углы?

13. Докажите, что диагонали прямоугольника равны, не обращаясь к признаков равенства треугольников.

14. Дан равносторонний треугольник. Что нужно знать, чтобы вычислить его сторону?

15. Как по вашему мнению, что найдено представленным решением? (Рис. 6)

АВ = ВС = АС = а, ? ?

16. Игровой момент
Ученик получил модели трех квадратов (рис. 7).

Не пользуясь никакими инструментами, докажите, что площадь одного из них равна сумме площади других.

17. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 70°. На продолжении основы взяли точки и соединили ее с вершиной треугольника (рис. 8). Оказалось, что ΔАВС ~ ΔADB. Найдите углы треугольника CDВ.

18. Сколько можно получить треугольников, подобных треугольнике ABC, проведя через точку М различные прямые (рис. 9)?

19. Используя лист тетради в клеточку, начертите с помощью линейки две подобные треугольники, которые не являются прямоугольными.

20. В треугольнике ABC точка О - центр описанной окружности. Точка A1 симметрична точке В относительно точки А. Точка B1 симметрична точке А относительно точки В. Точка C1 симметрична Точке В относительно точки С (рис. 10). Докажите, что ΔАВС ~ ΔА1В1С1.

21. Игровой момент

Учитель. Дети, следующего урока вам будет предложено такое задание: за 1 минуту нарисовать на непролінованому листе бумаги как можно больше подобных треугольников. Дома вы можете обдумать способ построения, но на листе чертить ничего нельзя. На уроке вы сможете пользоваться любыми инструментами.

22. Уставшим пришел чужак с севера в страну Великого Хапи. Солнце уже садилось, когда он подошел к роскошному дворцу фараона, что-то сказал слугам. Те мгновенно распахнули перед ним двери и провели его до приемной залы. И вот он стоит в запыленном дорожном дворце, а перед ним на золоченом троне сидит фараон. Рядом стоят надменные жрецы, хранители вечных тайн природы.

- Кто ты? - спросил верховный жрец.

- Меня зовут Фалес. Родом я из Милета.

Жрец надменно продолжал:

- Так это ты хвастался, что сможешь измерить высоту пирамиды, не взбираясь на нее? - жрецы скрючились от хохота. - Хорошо будет, - насмешливо продолжал жрец, - если ты ошибешься не более чем на сто локтей.

- Я могу измерить высоту пирамиды и ошибиться не более чем на пояс в пол-локтя. Я сделаю это завтра.

Лица жрецов потемнели. Которое наглость! Этот чужак утверждает, что может вычислить то, чего не могут они - жрецы Великого Египта.

- Хорошо, - сказал фараон. - Возле дворца стоит пирамида, мы знаем ее высоту. Завтра проверим твое мастерство.

(Учитель предлагает учащимся найти способ измерения высоты пирамиды).

23. Какую часть площадь заштрихованной фигуры составляет от площади треугольника (рис. 11).

24. В прямоугольнике проведена диагональ, в одном из полученных треугольников проведена медиана (рис. 12). Найдите соотношение между площадями фигур Ф1, Ф2 и Ф3.

25. В треугольнике проведена среднюю линию. С середины боковых сторон на основание опущено высоты (рис. 13). Что больше: площадь прямоугольника или сумма площадей заштрихованных треугольников?

26. Что больше: площадь одного правильного треугольника со стороной 10 см или сумма площадей десяти правильных треугольников со стороной 1 см?

27. Ученику выдали два треугольника, вырезанные из плотной бумаги. Необходимо доказать, что эти треугольники равновеликие, используя только линейку без делений.

28. Игровой момент

Учитель держит в руках каркасную модель прямоугольника. Выяснив у учеников, то это за фигура, он начинает медленно «сдвигать» верхнюю основу соответственно к нижней. Каким должен быть острый угол второго четырехугольника, чтобы его площадь была вдвое меньше площади прямоугольника?

29. Стороны четырехугольника равны по 1 м. Может ли его площадь быть меньше 1 см2?

30. Даны два квадрата. С помощью циркуля и линейки без делений постройте квадрат, площадь которого равна сумме площадей данных квадратов.

31. Боковая сторона трапеции с основаниями 3 см и 13 см разбита четырьмя точками на 5 равных частей. Через эти точки проведены отрезки, параллельные основам (рис. 14). Получилось 5 трапеций, высота каждой из которых равна данной высоты трапеции. Известно, что сумма площадей двух из них равна площади одной из них, что остались. Найдите эти трапеции.