Урок 5

Тема. Решение задач

Цель урока: формирование умений учащихся применять изученные аксиомы и теоремы к решению упражнений, построения простых сечений многогранников.

Оборудование: стереометрический набор, модели куба и тетраэдра.

Ход урока

И. Проверка домашнего задания

1. Обсуждение решения задачи № 12 по записям с пробелами, заготовленными на доске до начала урока.

Решение задачи № 12

Пусть точки А, В, С, D не лежат ... Эти точки и никакие три из низ ... на одной прямой (?) *, поэтому каждая из четырех возможных троек точек: А; В; С; ...; ...; ... определяют (?) единую плоскость (рис. 21). Эти четыре плоскости разные (?)

Ответ. Четыре плоскости.

* Знак «?» означает необходимость обоснования утверждения учениками.

2. Проведение теста на определение истинности математических утверждений.

Учитель читает утверждения, ученики ставят “+”, если утверждение истинно, и “-“, если оно ложно. Правильность определения утверждение оценивается в 1 балл. В квадратных скобках указаны правильные ответы.

Тест

1) Через точку пересечения диагоналей прямоугольника можно провести прямую, которая не пересекает его стороны. [+]

2) Если точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости, то прямые АВ и CD могут пересекаться. [-]

3) Если две точки окружности принадлежат некоторой плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости. [-]

4) Любые три точки лежат в одной плоскости. [+]

5) Любые четыре точки не могут лежать в одной плоскости. [-]

6) Две плоскости могут иметь только две общие точки. [-]

7) Две плоскости могут иметь дни совместные прямые, которые пересекаются. [-]

8) Через три точки, лежащие на одной прямой, можно провести плоскость. [+]

9) Две плоскости могут иметь три общие точки, не лежащие на одной прямой. [-]

10) Если три вершины ромба лежат в некоторой плоскости, то и четвертая его вершина лежит в этой же плоскости. [+]

11) Если три точки окружности лежат в некоторой плоскости, то и вся окружность лежит в этой же плоскости. [+]

12) Через четыре точки, лежащие на одной прямой, можно провести плоскость. [+]

II. Закрепление и осмысление знаний учащихся

Формирование умений применять изученные аксиомы стереометрии и следствия из них к решению задач

Выполнение упражнений

1. Середины трех сторон треугольника принадлежат плоскости α. Докажите, что вершины треугольника принадлежат плоскости α.

2. Плоскости α и β пересекаются по прямой с. Докажите, что существует плоскость:

а) которая содержит прямую с и отличная от плоскостей α и β;

б) которая пересекает прямую с и плоскости α и β.

3. Две вершины треугольника принадлежат некоторой плоскости. Принадлежит этой плоскости третья вершина, если известно, что этой плоскости принадлежит:

а) центр окружности, вписанной в треугольник;

б) центр круга, описанного вокруг треугольника?

4. Три прямые a, b, c попарно пересекаются и пересекают плоскость α в точках А, В, С (рис. 22). Есть ошибка на рисунке? Если ошибка есть, то сделайте правильный рисунок.

5. *Задача № 14 из учебника (с. 10), (Звездочкой отмечены задачи повышенной сложности)

6. *Задача № 8 из учебника (с. 9).

Формирование умений строить простейшие сечения многогранников

Для построения простейших сечений необходимо уметь решать две опорные задачи:

1) строить линию пересечения двух плоскостей;

2) строить точку пересечения прямой и плоскости.

С первой опорной задачей мы познакомились на предыдущих уроках. Сегодня мы познакомимся с развязыванием второй опорной задачи на построение сечений: построить точку пересечения прямой и плоскости. Для решения этой задачи находят в плоскости прямую, которая пересекает данную прямую; искомая точка - точка пересечения двух пряных. Для примера рассмотрим задачу, в которой система вопросов дает способ ее решения.

Задача.

Точка Μ - середина ребра АА1 куба ABCDA1B1C1D1. Побудет точку пересечения прямой D1M с плоскостью основания АВСD.

Решения (основные этапы):

а) Назовите плоскость боковой грани, которой принадлежит прямая D1М.

б) Назовите прямую, которая лежит в найденной боковой грани и плоскости основания ABCD.

в) Постройте искомую точку.

г) Вычислите длину отрезка МD1, если ребро куба равно 2 см.

Выполнение упражнений

1. Дано изображение куба ABCDA1B1C1D1 (рис. 23). Постройте точку пересечения прямой XY с плоскостью АВС и линию пересечения плоскости XYC и ADC.

2. Дано изображение тетраэдра SABC (рис. 24). Постройте точку пересечения прямой XY с плоскостью АВС и линию пересечения плоскости XYB и ABC.

3. Дано изображение куба (рис. 25). Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки А, В, С.

4. Дано изображение прямоугольного параллелепипеда (рис. 26). Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки А, В, С.