Урок № 46
Тема. Разность квадратов (Произведение разности двух выражений на их сумму)
Цель: отработать навыки применения формулы (a - b)(a + b) = a2 - b2 для преобразования целых выражений в многочлен стандартного вида с применением переставного и связующего законов умножения и зависимостей между знаком множителей и произведением этих множителей; углубить знания и умения ученики» за счет приема умножения и опре деления данного выражения на одно и то же выражение, то не равен 0.
Тип урока: усвоение умений и навыков.
Ход урока
I. Организационный момент
@ Учитель побуждает учащихся к самопроверке готовности к уроку; записывает фамилии отсутствующих, решает организационные вопросы.
II. Проверка домашнего задания
@ № 1 и 2 являются упражнениями на закрепление выработанных на предыдущем уроке умений, поэтому проверку этой части домашнего задания организуем так:
Игровой момент «Найди ошибку»
Учитель предлагает учащимся решения домашних упражнений (или записанные на доске, или в виде раздаточного материала) с намеренно «допущенными» типичными ошибками и предлагает учащимся найти и исправить их (самостоятельно). По выполнении работы подводим итоги - учащиеся презентуют свои работы и объясняют, какие ошибки нашли и как их исправить.
III. Формулировка цели и задачи урока
@ Учитель говорит о том, что на предыдущем уроке учащиеся узнали о формуле разности квадратов и его применение для преобразования простейших выражений, а цель этого урока - научиться применять эти знания и умения для преобразования более сложных выражений с применением приобретенных знаний и умений.
IV. Работа с опережающим домашним заданием
Фронтальная беседа (по вопросам № 3 домашнего задания)
1. Какой закон умножения используется при умножении трех и более множителей? (Соединительный)
2. Как изменится произведение двух выражений, если изменить: а) знак одного множителя; б) знаки обоих множителей? (а) Произведение только изменит знак; б) произведение не изменится)
3. Каким станет выражение, если изменить знак на противоположный: a; (-a + b); (-a - b); (- c - d + а); (-с - d - а)? (-a; a - b; a + b; c + d - a; c - d + a)
@ После этого учащимся предлагается по результатам беседы выполнить задание 1.
Изменив знак одного или двух многочленов, выполните умножение по соответствующей формуле сокращенного умножения (если это возможно).
1) (-b + c)(-b - с); 2) (-х - у)(х - у); 3) (-а - b)(-b - а); 4) (-b - с)(-с - d).
(Желательно обратить внимание учащихся на то, что изменение знака выражения должна быть обоснована, надо, чтобы ученики понимали, в каких случаях это преобразование является необходимым, а в каких - без него можно обойтись.) По выполнении задания желательно, чтобы учащиеся осознали, что в случаях, подобных 1) - 4), перед использованием формулы следует преобразовать выражение, чтобы он приобрел именно тот вид, который заложен в формулу.
V. Расширение знаний
@ На уроке начинаем работу со знакомства учащихся с нестандартными видами тождественных преобразований, а именно - с преобразованием, что можно записать в виде формулы:
a ∙ b : b = a. (*) Эту работу можно провести, предложив учащимся ряд заданий (каждое следующее задание является логическим продолжением предыдущего).
Задачи. Упростите (удобным способом):
а) (а - 1)(а + 1); (а2 - 1)(а2 + 1); (а4 - 1)(а4 + 1);
б) (а - 1)(а + 1)(а2 + 1);
в) (а - 1)(а + 1)(а2 + 1)(а4 + 1);
г) (а + 1)(а2 + 1)(а4 + 1).
После выполнения упражнений а) - б) (они не должны вызывать у учащихся затруднений при правильной расстановки акцентов) желательно сначала сформулировать обобщение:
(а - b)(а2 + b2)(а4 + b4)(а8 + b8) ... (а2n + b2n) = (а2n)2 - (b2n)2 (**)
- и только после этого - предложить упражнение г). Если у учеников возникают трудности с ответом, можно предложить им выполнить сравнение г) с условием (**). В любом случае по завершении этой работы ученики должны осознать:
1) формулу разности квадратов можно применять для преобразования выражения несколько раз;
2) следствием формулы разности квадратов может быть формула (**);
3) если данное выражение имеет вид (а + b)(а2 + b2)(а4 + b4)..., то для преобразования его по формуле (*) можно использовать прием, выраженный формулой (*).
VI. Усвоение навыков, выработка умений
Выполнение письменных упражнений
1. Выполните умножение:
1) (0,4m5 + 0,1n3)(0,1n3 - 0,4m5);
2) (-а8 - b3 )(b3 - а8);
3) 
;
4) (а3 - b3)(а3 + b3)(а6 + b6);
5) (b + 1)(b - 1)(b2 + 1);
6) (2х - 1)(2х + 1)(4х2 + 1);
7) (а - 2)(а + 2)(а2 + 4)(а4 + 16);
8) (а - b)(а + b)(а2 + b2)(а4 + b4)(а8 + b8);
9) ((а + b) - с)((а + b) + с).
2. Упростите выражения:
1) 0,6m(2m - 1)(2m + 1) - 0,8(3 - 5m)2 + 0,4(6 + 7m)(6 - 7т);
2) 4(с - 3)2(с + 3)2 - 3(с + 4)2(4 - с)2.
3. Решите уравнение:
1) (6х - 7)2 - 5(2х - 5)(2х + 5) - 2(4х - 15)(2х - 4) = -2;
2) (х - 1)(х + 1)(х2 + 1)(х4 + 1) = х8 + х.
4. Докажите, что (2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1) = 232 - 1.
VII. Итоги урока
Тестовые задания
1. Выполните действия: (5 + 6х)(6х - 5).
1) 25 - 36х2;
2) 36х2 + 25;
3) 36х2 - 60х + 25;
4) 36х2 - 25.
2. Замените □ одночленом так, чтобы образовалась тождество
1) 5n; 2) 25n; 3) 5n2; 4) 5n4.
3. Упростите выражение (b + 4)(b2 - 16)(b - 4).
1) b4 - 32b2 + 256;
2) b4 - 256;
3) 256 - b4;
4) b4 + 32b2 + 256.
VIII. Домашнее задание
Используя знания формул сокращенного умножения, выполните упражнения.
№ 1. Найдите значение выражения, предварительно упростив выражение:
1) (m + 5)2 + (-m - 4)(m - 4), если m = -3,5;
2) (аb - 1)(b + 1)(a2b2 + 1)(а4b4 + 1), если а = 5, b = -0,2;
3) (а3 - 2)(а3 + 2) - (а3 + 3)2, если а = -2.
№ 2. Докажите тождество (а + b)(а2 + b2)(а4 + b4)(а8 + b8) = а16 - b16, если а - b = 1.
№ 3. Опережающее домашнее задание. Используя правило умножения многочлена на многочлен, выполните умножение. Упростите, сравните, сделайте выводы:
1) (a - b)(a2 + ab + b2);
2) (a + b)(a2 - ab + b2);
3)(c - d)(c2 + cd + d2);
4) (c + d)(c2 - cd + d2);
5) (m - 1)(m2 + m + 1);
6) (m + 1)(m2 - m + 1).