ГЕОМЕТРИЯ

Раздел ІІ. СТЕРЕОМЕТРИЯ

§3. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ.

2. Параллельность прямой и плоскости.

На рисунке 374 прямая а параллельна плоскости α, это обозначают так: а || α.

Полезной является признак параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

На рисунке 375 прямая m не принадлежит плоскости α и m ll α, а α. Тогда по признаку параллельности прямой и плоскости, получим, что m || α.

Сформулируем свойства прямой и плоскости, параллельных между собой.

1. Если прямая параллельна плоскости, то в этой плоскости найдется прямая, параллельная данной.

На рисунке 375 m || α, тогда в плоскости α существует прямая а такая, что m || α. Заметим, что таких прямых в плоскости множество.

2. Если прямая параллельна плоскости, то через любую точку этой плоскости можно провести прямую, параллельную данной, и к тому же только одну.

3. Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая также параллельна данной плоскости или лежит в этой плоскости.

На рисунке 376 и 377: а || b и а || α. Тогда b а (рис. 376) или b || α (рис. 377).

Пример 1. Плоскость α, параллельная основаниям АВ и СD трапеции АВСD, пересекает боковые стороны АD и ВС соответственно в точках М и N. Найти АВ, если М - середина АD, МN = 6 см; DС = 4 см.

Решения. 1) Прямые МN и DС лежат в одной плоскости - плоскости МDС (рис. 378).

2) Предположим, что МN DС = К.

3) Поскольку К МN; МN α, то К α. Тогда точка К является точкой пересечения прямой DС и плоскости α, что противоречит условию. Следовательно, DС || МN.

4) Поскольку DС || АВ, DС || МN, то по признаку параллельности прямых МN || АВ.

5) Поскольку DМ = МА и АВ || ГN || DС, то по теореме Фалеса: N - середина ВС. Поэтому МN - средняя линия трапеции АВСD.

Пример 2. Плоскость α, параллельная стороне АВ треугольника АВС, пересекает сторону АС в точке А₁, а сторону ВС в точке₁. АС : А₁C = 3 : 2. Найти длину стороны АВ, если А₁В₁ = =6 см.

Решения. 1) Аналогично предыдущему примера можно доказать, что АВ || А₁B₁.

2) СВ₁А₁ = СВА (соответственные углы при параллельных прямых АВ и А₁В₁ и секущей СВ), С - общий угол для треугольника АСВ и треугольника А₁СВ₁. Поэтому ∆АСВ - ∆А₁СВ₁ (по двумя углами).

Следовательно,