УРОК 46

Тема. Решение показательных уравнений

Цель урока. Формирование умений учащихся решать показательные уравнения способом сведения к общей основы; способом вынесения за скобки общего множителя; способом возведения к общему показателя; графическим способом.

И. Проверка домашнего задания

Два ученика на откидных досках воспроизводят решения упражнений в соответствии№ 1, 3, 5, 7, 9 и № 2, 4, 6, 8, 10.

В настоящее время последние ученики решают уравнения № 48, 23.

№ 48: ; ;

x2 - 6x - 35 = 4; x2 - 6х - 40 = 0.

x1 = 10; х2 = - 4.

Ответ: 10; - 4.

№ 23: ; ; ;

2х - 3х + 3 = 1; - x = - 2; x = 2.

Ответ: 2.

II. Приобретение умений решать показательные уравнения

Рассмотрим некоторые способы решения показательных уравнений.

1. Способ приведения уравнения к общему основанию, т.е. к уравнению вида .

Как известно, показательная функция у = ах, а > 0 и а ≠ 1 монотонная, поэтому каждое свое значение она принимает только при одном значении аргумента. Из равенства следует, что f(x) = g(x).

Пример 1. Решите уравнение 2х · 5х = 0,1(10 х - 1)3.

Решение

2х · 5х = 0,1(10 х - 1)3; 10х = 10-1 · 103х - 3; 10х = 103х - 4; х = 3х - 4; х = 2.

Ответ: 2.

2. Коллективное решение упражнений из№ 1 (17, 20, 49).

3. Способ вынесения общего множителя за скобки.

Пример 1. Решите уравнение 3х - 2 · 3х - 2 = 63.

Решение

3х - 2 · 3х - 2 = 63; 3х- 2(32 - 2) = 63; 3х - 2 · 7 = 63; 3х - 2 = 9; х - 2 = 2; х = 4.

Ответ: 4.

Пример 2. Решите уравнение 52х - 1 - 52х + 22х + 22х + 2 = 0.

Решение

52х - 1 - 52х + 22х + 22х + 2 = 0;

22x(1+ 22) = 52х(1 - 5-1);

22х · 5 = 52х · ;

; ; 2х = 2; x = l.

Ответ: 1.

4. Коллективное решение упражнений с № 1 (22, 44).

5. Способ приведения уравнения к квадратному.

Пример 1. Решите уравнение 49х - 8 · 7х + 7 = 0.

Решение

49х - 8 · 7х + 7 = 0;

(72)x - 8 · 7х + 7 = 0;

(7х)2 - 8 · 7х + 7 = 0.

Пусть 7х = t, тогда t2 - 8t + 7 = 0; t1 = 7; t2 = 1.

Итак: 1) 7х = 7; х = 1; 2) 7х = 1; 7х = 70; х = 0.

Ответ: 1; 0.

Пример 2. Решите уравнение (№ 1 (47)) 3 · 16х + 2 · 81х = 5 · 36х.

Решение

3 · 42x + 2 · 92x = 5 · 4х · 9х; ; .

Замена = в , тогда 3 y2 - 5y + 2 = 0, отсюда y1 = ; y2 = 1.

Итак: 1) ; ; 2х = 1; х = ; 2) = 1; х = 0.

Ответ: 0; .

6. Коллективное решение уравнений с№ 1 (26, 32, 33).

7. Графический способ решения показательных уравнений.

Пример. Решите графически уравнение = х +1.

Решение

Строим графики функций у = , у = х + 1 в одной системе координат. Графики функций у = , у = х + 1 пересекаются в точке, абсцисса которой х = 0 (рис. 154).

Ответ: х = 0.

8. Решите уравнение графически:

а) 3х = 4 - х; б) у= х + 3; в) 4х = 5 - х; г) 3-х = - .

Ответ: а) 1; б) -1; в) 1; г) -1.

III. Итог урока

IV. Домашнее задание

Раздел IV § 2 № 31-34 с «Вопросы и задания для повторения», № 1 (12, 13, 14, 15, 16).