Часть 1 МЕХАНИКА

Раздел ОСНОВЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

3.2. Гидродинамика идеальной жидкости

Задачи гидродинамики состоит в поэтому, чтобы найти соотношения, которые дают возможность за числовыми значениями сил описать состояние движения жидкости или по состоянию движения жидкости найти действующие силы.

Движение жидкости или газа можно изучать двумя методами. С помощью первого метода изучают движение каждой частицы отдельно. Он требует определения кинетических характеристик движения (перемещения, скорость, ускорение) частиц жидкости при перемещениях в пространстве и времени. Такой метод изучения состояния движения жидкости предложил французский математик и механик Же. Лагранж (1736-1813), поэтому его называют методом Лагранжа. Получение законы движения жидкости по методу Лагранжа связано со значительными математическими трудностями, поэтому на практике пользуются другим методом. Наблюдают за движением каждой частицы жидкости, а в потоке жидкости выделяют фиксированный элементарный объем и изучают, что происходит со временем в каждой точке выделенного объема. Такой метод изучение состояния движения жидкости разработал выдающийся математик и физик Л. Эйлер (1707-1783). Его называют методом Эйлера. За этим методом анализируют не скорости и ускорения частиц жидкости, а скорости и ускорения потока жидкости.

Изучая движение жидкости, пользуются идеализированным объектом или жидкостью, которую называют идеальной, то есть жидкостью, которая абсолютно несжимаемая и полностью лишена внутреннего трения.

Поток жидкости или газа называют стационарным, если его скорость во всех точках пространства с течением времени не изменяется.

Для облегчения анализа движения жидкости или газа пользуются линиями и трубками течения. Под линией течения понимают линию, касательная к которой в каждой точке совпадает с вектором скорости (рис. 3.3).

Рис. 3.3

Линия тока и траектория движения частицы в общем случае не совпадают. Траектория показывает путь той самой частицы за все время ее движения. Линия течения характеризует направление движения бесконечного множества частиц, которые в определенный момент времени размещаются на линии. Только при стационарном потоке жидкости или газа линии течения совпадают с траекториями движения частиц. Для нестационарных потоков такого совпадения нет.

Часть жидкости, ограниченную линиями течения, называют трубкой тока. Все частицы, находящиеся внутри трубки течения, не выходят за пределы трубки, и ни одна из частиц, которые остаются за пределами трубки течения, не проникает в нее. Трубка течения имеет вид трубки с жесткой боковой поверхностью, по которой протекает жидкость. Если поперечное сечение трубки течения мал, то можно считать, что скорость жидкости для всех точек заданного сечения одинакова.

Течение жидкости называют установившейся (или стационарной), если форма и расположение линий тока, а также значение скоростей в каждой точке поперечного сечения со временем не меняются.

Рассмотрим любую трубку течения. Выберем два ее сечения s₁ и s₂ (рис. 3.4). За время Δt через произвольное сечение s пройдет объем жидкости sυΔt; следовательно, за 1 с через s₁ пройдет объем жидкости s₁υ₁, где υ₁ - скорость течения жидкости в сечении s₁. Через s₂ за 1 с пройдет объем жидкости s₂υ₂, где υ₂ - скорость течения жидкости в сечении s₂. Если жидкость несжимаема, то через сечение s₁ пройдет такой же объем жидкости, как и через сечение s₂, то есть

Следовательно, произведение скорости течения несжимаемой жидкости на площадь поперечного сечения трубки тока является величиной постоянной для этой трубки течения.

Рис. 3.4

Соотношение (3.4) называют уравнением неразрывности для несжимаемой жидкости. Его можно применить не только до реальных жидкостей, но и газов.

Выделим в идеальной жидкости, движется стационарно, трубку течения малого сечения. Рассмотрим объем, ограниченный сечениями s₁ и s₂ и стенками трубки течения. За достаточно малое время Δt этот объем переместится вдоль трубки тока, причем сечение s₁ займет положение s₁’, пройдя путь Δl₁ = υ₁Δt, а сечение s₂ займет положение s₂’, пройдя путь Δl₂ = υ₂Δt.

Благодаря неразрывности струи заштрихованные объемы будут иметь одинаковый размер (рис. 3.5):

Энергия каждой частицы жидкости складывается из ее кинетической энергии и потенциальной энергии в поле сил тяжести. Вследствие стационарности течения частица, находится через время Δt в любой из точек незаштрихованої части этого объема, имеет такую же скорость, которую малая частица, что была в той самой точке в начальный момент времени. Поэтому прирост энергии можно определить как разницу энергий заштрихованных объемов ΔV₁ и ΔV₂.

Рис. 3.5

Возьмем сечение трубки течения в и отрезок Δl настолько малыми, чтобы всем точкам каждого из заштрихованных объемов можно было предоставить одно и то же значение скорости υ, давления р и высоты h. Тогда прирост энергии

Поскольку массы заштрихованных объемов одинаковые

где ρ - плотность жидкости,

В идеальной жидкости силы трения нет. Поэтому прирост энергии ΔЕ должно быть равно работе, которую выполняют силы давления над выделенными объемами. Силы давления на боковую поверхность перпендикулярны в каждой точке к направлению перемещения частиц, к которым они приложены, в результате чего они работы не выполняют. Отличная от нуля лишь работа сил F₁ = p₁s₁ и F₂ = -г₂s₂, приложенных к сечениям s₁ и s₂. Суммарная работа равна

Сравнив выражения (3.5) и (3.6) и сделав некоторые преобразования, получим

Поскольку сечения s₁ и s₂ взято произвольно, то для любого сечения трубки тока выполняется условие

Уравнение (3.7) получил Д. Бернулли (1700-1782). Его называют уравнением Бернулли для стационарного потока идеальной жидкости. Это уравнение является математическим выражением закона сохранения энергии относительно устоявшейся течения идеальной жидкости. Экспериментально доказано, что уравнение Бернулли (3.7) можно применять и для реальных жидкостей, вязкость которых небольшая, а также для газов, скорость движения которых значительно меньше скорости распространения в них звука. Величину г в формуле (3.7) называют статическим давлением, величину - динамическим давлением, а величину ρgh - гидростатическим давлением.

Для горизонтальной трубки тока (h₁ = h₂) выражение (3.7) принимает вид

Сумму называют полным давлением, или полным напором. Давление оказывается меньшим в тех точках, где скорость большая. Следовательно, при течении жидкости по горизонтальной трубе, имеющей различные сечения, скорость жидкости, согласно уравнению неразрывности, в местах сужения большая, а статическое давление меньше, в более широких местах трубы - наоборот. Это можно продемонстрировать, установив вдоль трубы ряд манометров (рис. 3.6). Полное давление измеряют трубкой Лето. Она имеет вид изогнутой манометричної трубки, которую размещают в движущейся жидкости так, что ее открытый конец обращен навстречу течению жидкости.

Рис. 3.6

Опыт показывает, что в манометричній трубке, прикрепленной к узкой части трубы в точке В, уровень жидкости ниже, чем в манометрических трубках, прикрепленных к широкой части трубы в точках А и С.

Уменьшение статического давления в точках, где скорость потока больше, положено в основу работы водоструйного насоса (рис. 3.7). Струя воды подается в конусообразную трубку, открытую в атмосферу так, что давление на выходе из трубки равно атмосферному. В месте сужения трубки вода течет с большей скоростью. В этом месте давление меньше атмосферного. Этот давление устанавливается также в відкачаній сосуде, связанной с трубкой через отверстие в узкой части трубки. Воздух подхватывается водой, вытекающей из узкого конца трубки с большой скоростью. В такой способ можно откачать воздух из сосуда до достаточно низких давлений.

Рис. 3.7