АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА

Раздел III. ФУНКЦИЯ

ОБРАЗЦЫ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ.

Задания с выбором одного правильного ответы.

Задача 1-60 имеют по пять вариантов ответа, среди которых только один правильный.

1. Графиком какой из функций является прямая, параллельна оси абсцисс?

2. На рисунке 121 изображен график функции у = kх + b. Укажите правильное утверждение относительно коэффициентов k иbЬ.

3. На каком из рисунков изображен график функции у = 3/x?

4. Графиком какой из предложенных функции является парабола?

5. Найти область определения функции в = .

6. Найти область определения функции:

7. Найти область определения функции: у = lg(9 - х²).

8. Указать область значений функции: y = - 3.

9. Найти область значений функции: у = 3^-lxl.

10. Найти область значений функции: у = lg(10 - x⁴).

11. Найти область значений функции: у = 3 - 2 sin х.

12. Найти область значений функции: у = (sin х - cos x)².

13. Которая из функций возрастает на интервале (0;∞)?

14. Которая из функций убывает на интервале [0;+∞] ?

15. Указать парную функцию.

16. Указать нечетную функцию.

17. График которой предложенных функции симметричен относительно оси ординат?

18. График какой из предложенных функций симметричен относительно начала оси?

19. Указать рисунок, на котором изображен график четной функции.

20. Указать наименьший положительный период функции: у = 5 соs 2x.

21. Указать наименьший положительный период функции: y = 4 tg(x/3).

22. Которая из приведенных ниже последовательностей является арифметической прогрессией?

23. Какая из представленных ниже последовательностей является геометрической прогрессией?

24. Задано арифметическое прогрессии (а_n), первый член которой а₁ = 4 и разность d = -2. Найти а₄.

25. Задан геометрическую прогрессии (B_n), первый член которой b₁ = 16 и знаменатель q = -1/2 . Найти b₄.

26. Задано арифметическое прогрессии (а_n), для которой третий член а₃ = 12 и разность d = 3. Найти а₁.

27. Задан геометрическую прогрессии (b_n), для которой второй член b₂ = 15 и знаменатель q = -3. Найти b₁.

28. График функции у = f(x) проходит через точку, изображенную на рисунке 122. Указать функцию f(x).

29. Функция у = f(х) определена по всей числовой прямой и является периодической с наименьшим положительным периодом 6. На рисунке 123 изображен график этой функции на отрезке [-2; 4]. Вычислить f(6).

30. Функция у = f(х) является убывающей на промежутке (-∞;+∞). Указать правильную неравенство.

31. Задать линейную функцию, график которой параллелен оси абсцисс и проходит через B(-3;4).

32. В какой из предложенных функций область определения совпадает с областью значений?

33. Указать рисунок, на котором изображен эскиз графика у = kх при 0 k 1.

34. Найти производную функции у = х³ + 2 cos x.

35. В точке не имеет производной функция у = ?

36. Вычислить f '(1), если f(х) = .

37. Вычислить производную функции f(x) = 2 cos x - 3 sin х в точке х₀ = π/2.

38. На рисунке 124 изображен график функции у = f(x) и касательную к нему в точке с абсциссой 2. Найти f '(2).

39. На рисунке 125 изображен график функции у = f(х), которая определена на промежутке (-3; 4). В каждой точке этого промежутка существует производная f '(x). Сколько всего корней имеет уравнение f '(х) = 0 на промежутке (-3; 4)?

40. На рисунке 126 изображен график функции у = f(х) и касательные к нему, проведенные в точках с абсцисами х₁ и х₂. Пользуясь геометрическим смыслу производной, найти

f '(х₁) - f '(х₂).

41. Тело движется прямолинейно по законом (время t измеряют в секундах, s - в метрах). Определить скорость тела в момент времени t = 3 с.

42. Тело движение прямолинейно по закону (время и измеряется в секундах, s - в метрах). В какой момент времени скорость тела будет 4 м/с?

43. Тело движется прямолинейно по закону (время и измеряется в секундах, s - в метрах). Определить ускорение его движения в момент t = 5с.

44. Сколько критических точек имеет функция у = х³ + х²?

45. Сколько критических точек на промежутке [0; π] функция у = sin x - соs х?

46. Найти все критические точки функции: у = х²lnх.

47. Найти все промежутки убывания функции:

48. Найти все промежутки возрастания функции: у = х²е^х.

49. Найти наибольшее значение функции у = Зх² - х³ + 7 на промежутке [0; 4].

50. Какое число в сумме со своим квадратом дает наименьшую сумму?

51. Функция F(х) = 4sиn(2х) - 1 является первичным для функции f(x). Найти f(х).

52. Найти определенный интеграл:

53. Для функции у = е^х + 2х указать первоначальную, график которой проходит через точку А(0;-3).

54. На рисунке 127 изображены графики функций у = и у = х². Указать формулу для вычисления площади закрашенной фигуры.

55. Найти площадь фигуры, изображенной на рисунке 128.

56. Найти площадь фигуры, ограниченную линиями у = х²; х = 0; х = 2; у = 0.

57. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = sиn х; х = 0; х = 2π/3; у = 0.

58. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = е^х; х = 0; x = 1; в = 0.

59. Тело движется прямолинейно со скоростью υ(t) = 4 - 0,2t (м/с). Какой путь пройдет тело за интервал времени от t₁ = 5 с до t₂ = 10 с?

60. Тело движется прямолинейно со скоростью υ(t) = 4 - 0,4 t (м/с). Найти путь, который пройдет тело от начала движения до остановки.

Задания на установление соответствий.

В заданиях 1-5 к каждому из строк информации, обозначенных цифрами, выберите один правильный, по Вашему мнению, вариант, обозначенный буквой.

1. Установить соответствие между функциями, заданными формулами (1-4), и их областями значений (А-Д).

2. Установить соответствие между функциями (1-4) и эскизам их графиков (А-Д).

3. Установить соответствие между геометрическим преобразованием графика функции у = sиn х (1-4) и функциями, полученными в результате этих преобразований (А-Д).

1 График функции у = sиn х параллельно перенести вдоль оси Ох и две единицы справа

2 График функции у = sиn х параллельно перенесли вдоль оси Оу на две единицы вниз

3 График функции у = sиn х сжали оси Ох в два раза

4 График функции у = sиn х сжали до оси Оу в два раза

4. Установить соответствие между функциями, заданными формулами (1-4), и значениями их производных в точке 0 (А-Д).

А 1

Б 2

В С

Г 4

Д 5

5. Установить соответствие между функциями у = f(x) (1-4) и значением интеграла (А-Д).

Задания с кратким ответом.

1. График линейной функции у = kх + b проходит через точки (2; -2) и (-1; 7). Найти k.

2. Осью симметрии параболы, что есть графиком функции у = ах² - 6х + 7, является прямая х = -2. Найти а.

3. Найти сумму первых шестнадцати четных натуральных чисел.

4. Найти сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии (а_n) если а₁ = 3; а₂ = 5.

5. Найти сумму первых шести членов геометрической прогрессии (b_n), если b₁ = 8; b₂ = -4.

6. Найти первый член геометрической прогрессии (b_n), если b₁ + b₃= 50; b₂+ b₄ = 150.

7. Вычислить сумму всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии (£>_п), общий член которой задан формулой b_n = 4 ∙ 3ⁿ.

8. Найти наибольшее значение функции

9. Найти наименьшее значение функции

10. Найти f '(2), если

11. Найти наибольшее значение функции у = x³ - 3x² на отрезке [-1;1].

12. Найти наименьшее значение функции у = х³ - 12х + 1 на отрезке [0;3].

13. Материальная точка движется по законом s(t) = 2t² + 3t, где s измеряется в метрах, a t в секундах. Найдите значение t (в секундах), при котором мгновенная скорость материальной точки равна 71 м/с.

14. К графику функции f(x) = 2 в точке с абсциссой х₀ = -3 проведено касательную. Какой угол (в градусах) эта касательная образует с положительным направлением оси абсцисс?

15. Определить наибольшее (в см²) площадь прямоугольника, вписанного в круг, радиус которого равна 5 см.

16. Найти площадь фигуры, ограниченную линиями у = х³, у = 8; х = 0.

17. Найти площадь фигуры ограниченную линиями у = 1/x; y = 0 ; х = 1; х = е².

18. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой у = 2 - х² и прямой у = -х.

19. При каком значении а (а > 0) значение интеграла будет наибольшим?

20. При каком значении а > 0 прямая х = 7 делит площадь фигуры, ограниченная графиком функции у = 4/x и прямыми у = 0; х = 2, х = 7 + а пополам?