УРОК № 32

Тема. Понятие о преобразовании фигур

Цель урока: дать представление учащимся о преобразование фигур на плоскости.

Тип урока: комбинированный.

Наглядность и оборудование: таблица «Преобразование фигур. Движения» [13].

Требования к уровню подготовки учащихся: объясняет, что такое преобразование.

Ход урока

И. Проверка домашнего задания

Проверить наличие выполненного домашнего задания и ответить на вопросы, которые возникли у учащихся при его выполнении.

II. Восприятие и осознание нового материала

В курсе алгебры вы изучали понятие функции, поэтому вспомним его.

Функция - это соответствие (зависимость) между двумя множествами, при котором каждому значению переменной х из первого множества соответствует единственное значение у из второго множества.

Аналогом функции в геометрии понятие геометрического преобразования фигур.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Пусть АВ и CD - два отрезка, причем ACCD и BDCD (рис. 146). Будем считать, что каждой точке первого отрезка соответствует и точка Х1 второго отрезка, которая является основанием перпендикуляра Х1Х . Например, точке А соответствует точка С, В точке соответствует точка D. Следовательно, каждой точке X первого отрезка соответствует одна точка второго отрезка. При этом каждая точка второго отрезка будет поставлена в соответствие некоторой точке первого отрезка. Мы получили преобразование отрезка АВ на отрезок CD.

Пример 2. Пусть F и F1 - два круга с общим центром О (рис. 147). Будем считать, что каждой точке X круга F соответствует и точка X1 круга F1, которая лежит на луче ОХ. Например, точке А соответствует точка С, В точке соответствует точка D.

Следовательно, каждой точке X круга F соответствует одна точка Х1 круга F1. При этом каждая точка Х1 круга F1 поставлена в соответствие некоторой точке круга F. Мы получили преобразования круга F на круг F1.

Преобразованием фигуры F в фигуру Ft называется такое соответствие, при котором:

а) каждой точке фигуры F соответствует единственная точка фигуры F1;

б) каждой точке фигуры F1 соответствует некоторая точка F;

в) разным точкам фигуры F соответствуют различные точки фигуры F1.

При этом фигуру F1 называют образом фигуры F для данного преобразования.

Решение упражнений

1. 1) На рис. 148 задано преобразование дуги АВ окружности с центром О на отрезок CD: каждой точке X дуги соответствует и точка Х1 отрезка CD, которая лежит на луче ОХ. Дайте ответы на следующие вопросы.

а) Какая точка является образом точки А? точки X? точки М?

б) любая точка круга отображается на точку D? на точку N? на точку С?

в) Образом какой точки является точка F? X1?

г) Почему это соответствие является преобразованием дуги на отрезок?

1. 2) Рассматривается соответствие между полукругом с центром О и диаметром АВ (рис. 149), при котором каждой точке X полукруга соответствует точка Х1 - основание перпендикуляра, опущенного из точки X на диаметр АВ. Дайте ответ на такие вопросы.

а) Какая точка является образом точки С? точки N? точки А?

б) любая точка полукруга отображается на точку К? на точку В?

в) Почему это соответствие является преобразованием полукруга на отрезок?

III. Закрепление и осмысление нового материала

1. 1. Рассматривается соответствие между окружностью с центром О и диаметром АВ (рис. 150), при котором каждой точке X окружности соответствует точка Х1 - основание перпендикуляра, опущенного из точки X на диаметр АВ. Дайте ответы на следующие вопросы.

а) Какая точка является образом точки С? точки А?

б) любая точка круга отображается на точку В? на точку L?

в) является Ли это соответствие преобразованием круга на отрезок? Почему?

1. 2. Постройте образы точек А, В, С при преобразовании:

а) отрезка MN на отрезок KL, если соответствующие точки отрезков лежат на лучах с началом D (рис. 151);

б) луча ON на луч ОМ (рис. 152), если соответствующие точки этих лучей лежат на окружности с центром О и О переходит в А.

1. 3. Задайте (выполнив рисунок) преобразования:

а) отрезка АВ на отрезок CD;

б) отрезка на полукруг;

в) треугольника на круг;

г) круга на треугольник.

1. 4. На координатной плоскости задан отрезок АВ (рис. 153). Каждой точке Р(х; у) поставлена в соответствие точка: а) Р1(2х; 2у); б) Р1 (х; -2у). Постройте образы отрезка при этом преобразовании.

IV. Домашнее задание

1. 1. Научиться объяснять, что такое преобразование фигуры, и решить задачу.
2. 2. На координатной плоскости задан треугольник ABC (рис. 154). Каждой точке Р(х; в) треугольника поставлена в соответствие точка:

а) Р1 (х; у); б) P1(x; -у); в) Р1 (х; -у).

Постройте образы треугольника при этом преобразовании.

V. Подведение итогов урока

Вопрос к классу

1. 1. Что такое преобразование фигуры F в фигуру F1?
2. 2. Приведите примеры преобразования фигур.