АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА

Раздел II. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

§30. СИСТЕМЫ, СОДЕРЖАЩИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ.

При решении системы, содержат экспоненциальные и логарифмические уравнения, используют приемы решения систем (способ подстановки, способ сложения, замену сменных) и методы решения показательных и логарифмических уравнений.

Пример 1. Решите систему уравнений:

Решения. Умножим первое уравнение системы на второе, имеем Отсюда y = 3 - x. Подставим в первое уравнение исходной системы:

Следовательно, (2;1) - решение’связь системы уравнений.

Пример 2. Решите систему уравнений:

Решения. Поскольку 16 = 2⁴ и х > 0 и y > 0, то имеем:

Замена Имеем:

Учитывая t > 0 и z > 0, получим t = 5; z = 6. Тогда = 5; х = 25; = 6; в = 36. Следовательно, (25;36) - решение системы.

Пример 3. Решите систему уравнений:

Решения. Из второго уравнения системы получаем:

Подставим в первое уравнение вместо х выражение 5 - в. Имеем

Тогда, х = 5 - у; х = 5 - 7; х = -2. Следовательно, (-2;7) - решение системы.

Пример 4. Решите систему уравнений:

Решения. Из первого уравнения системы получим

Замена

Значит, log_вх = 1. Исходная система равносильна такой:

Отсюда, у = 4, тогда х = 4.

Следовательно, (4;4) - решение системы.

Пример 5. Решите систему уравнений:

Решения. Логарифмуючи второе уравнения по основанию 2 (учитывая положительности левой части уравнения), получим: Имеем

Отсюда₁ = 3, тогда

Следовательно, пара (4;3) и (1/8;-2) - решения системы уравнений.