Тождества - ГЕОМЕТРИЯ - Уроки для 9 классов - конспекты уроков - План урока - Конспект урока - Планы уроков

УРОК № 2

Тема. Тождества sin2α + cos2α = 1; sin(180°- α) = sinα; cos(180°- α) = -cosα; sin(90°- α) = cosα; cos(90°- α) = sinα

Цель урока: вывод формул sin2α + cos2α = 1; sin(180°- α) = sinα; cos(180°- α) = -cosα; sin(90°- α) = cosα; cos(90°- α) = sinα. Формирование умений учащихся находить тригонометрические функции тупых углов.

Тип урока: комбинированный.

Наглядность и оборудование: таблица «Соотношение между сторонами и углами треугольника» [13], табл. 1. Требования к уровню подготовки учащихся: применяют формулы sin2α + cos2α = 1; sin(180°- α) = sinα; cos(180°- α) = -cosα; sin(90°- α) = cosα; cos(90°- α) = sinα к решению упражнений.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания

Проверить наличие выполненных домашних заданий и ответить на вопросы, которые возникли у учащихся в ходе выполнения домашних заданий.

Фронтальное опрос

1) Сформулируйте определение синуса, косинуса, тангенса углов от 0° до 180°.

2) Пользуясь таблицей (или калькулятором), найдите:

a) sin 112°, cos 112°, tg 112°;

б) sin 149°, cos 149°, tg 149°;

в) sin 167°, cos 167°, tg 167°.

II. Поэтапное восприятие и осознание нового материала

Основная тригонометрическая тождество

Следует отметить, что основную тригонометричну тождество sin2α + cos2α = 1 в восьмом классе доказано для острого угла α. Покажем, что это тождество справедливо для любого угла sin 0° до 180°.

Если угол α - тупой (рис. 6), тогда из прямоугольного треугольника ОАВ (В = 90°, АВ = а , ВО = -х, ОА = 1) по теореме Пифагора имеем: ОВ2 + АВ2 = ОА2, (-x)2 + у2 = 1, х2 + у2 = 1. Учитывая, что x = cosα, y = sinα, имеем sin2α + cos2α = 1.

Если α = 0°, тогда cos2 0° + sin2 0° = 12 + 02 = 1.

Если α = 90°, тогда cos2 90° + sin2 90° = 02 + 12 = 1.

Если α = 180°, тогда cos2 180° + sin2 180° = (-1)2 + 02 = 1.

Следовательно, для любого угла α (0° α 180°) выполняется тождество sin2 α + cos2 α = 1.

Формулы дополнения

В 8-м классе для острого угла а было доказано формулы, выражающие функции угла 90°- α через функции угла α. Напомним их:

sin(90° - α) = cosα, cos(90° - α) = sinα, tg(90°- α) = или tg(90°- α) = ctgα.

Например, sin 30° = cos 60° = , cos 45° = sin 45° = , cos 30° = sin 60° = .

Следует отметить, что эти формулы справедливы и для тупого угла a, однако это вызывает необходимость вводить тригонометрических функции для отрицательных углов. С этим материалом учащиеся ознакомятся в 10-м классе.

Формулы sin(180°- α) = sinα, cos(180°- α) = - cosα

Рассмотрим круг с центром в начале координат и радиусом 1. Отложим угол α - острый угол, который образует радиус круга с положительной осью Ох. Построим угол 180°- α. Для этого отложим угол В1ОА1 от отрицательной полуоси Ох, тогда A1OB = 180° - α (рис. 7).

Пусть координаты точек А и А1 соответственно (х; у) и (х1; у1), ∆ОВА = ∆ОВ1А1 (по гипотенузой и острым углом). Тогда sin (180°- α) = y1 = y = sinα, cos (180°-α) = = х1 = - x = -cos α, tg (180°- α) = = = = - tg α. Эти формулы дают возможность, зная значения тригонометрических функций острых углов, находить значения тригонометрических функций тупых углов.

Например,

sin 120° = sin (180° - 60°) = sin60° = ,

cos 120° = cos (180° - 60°) = - cos 60° = ,

tg 120° = tg (180° - 60°) = - tg 60° = .

Далее следует предложить учащимся найти: sin 135°, cos 135°, tg 135°, sin 150°, cos 150°, tg 150°. После этого надо занести результаты в табл. 1, в которой учащиеся будут пользоваться в течение следующих уроков.

Таблица 1