УРОК № 15

Тема. Решение задач

Цель урока: формирование умений учащихся применять изученный материал к решению задач.

Тип урока: комбинированный.

Наглядность и оборудование: табл. 3.

Требования к уровню подготовки учащихся: применяют изученные определения, теоремы, формулы и свойства к решению задач.

Ход урока

И. Проверка домашнего задания

Проверить наличие выполненных домашних заданий.

Решение

а) г = = 16. S = = = 24.

R = = = 8, r = = = 1,5.

Ответ. R = 8, r = 1,5.

б) г = = 36.

S = = = 84.

R = = = 24,

r = = = 2.

Ответ. R = 24, r = 2.

II. Анализ результатов самостоятельной работы

III. Обобщение и систематизация теоретических сведений

Этот этап урока целесообразно провести с использованием табл. 3.

Вопрос к классу

1. 1. Сформулируйте свойства площади плоских фигур.
2. 2. Чему равна площадь прямоугольника, если известны его стороны?
3. 3. Чему равна площадь прямоугольника, если известны диагонали прямоугольника и угол между ними?
4. 4. Чему равна площадь квадрата, если известна:

а) сторона квадрата;

б) диагональ квадрата?

1. 5. Чему равна площадь параллелограмма, если известны:

а) сторона параллелограмма и высота, проведенная к ней;

б) две соседние стороны параллелограмма и угол между ними;

в) диагонали и угол между ними?

1. 6. Чему равна площадь ромба, если известны:

а) сторона и высота ромба;

б) сторона и угол ромба;

в) диагонали ромба?

1. 7. Чему равна площадь треугольника, если известны:

а) сторона треугольника и высота, проведенная к ней;

б) две стороны треугольника и угол между ними;

в) три стороны треугольника;

г) радиус вписанной окружности и стороны треугольника;

д) радиус описанной окружности и стороны треугольника?

1. 8. Чему равна площадь:

а) прямоугольного треугольника;

б) правильного треугольника?

1. 9. Чему равна площадь трапеции, если известны:

а) основания и высота трапеции;

б) диагонали трапеции и угол между ними?

Таблица 3

IV. Решение упражнений

Учитель может использовать задачи из предыдущих уроков и предлагать такие задачи.

1. 1. Найдите площадь прямоугольника, диагональ которого равна d и образует с одной из сторон угол α. (Ответ. d2sinα cosα.)
2. 2. Диагональ параллелограмма делит острый угол на углы α и β. Сторона, лежащая против угла β, равна b. Найдите площадь параллелограмма. (Ответ. .)
3. 3. Найдите сторону ромба, если его площадь равна S, а один из углов равен α. (Ответ. .)
4. 4. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см. Найдите радиусы описанного и вписанного кругов. (Ответ. R = 5 см, r = 2 см.)
5. 5. Высоты параллелограмма, проведенные из одной вершины, равны а и b и образуют угол α. Найдите площадь параллелограмма. (Ответ. .)
6. 6. Сторона прямоугольника равна а, а угол между диагоналями, противоположную другой стороне прямоугольника, равен φ. Найдите площадь прямоугольника. (Ответ. a2tg.)
7. 7. В рівнобічній трапеции меньшее основание равно боковой стороне, а острый угол равен φ. Найдите площадь трапеции.

Решение

Пусть в трапеции ABCD ВС = АВ = CD = a, BAD = ADC = φ (рис. 50). Опустим перпендикуляр из точки В на основание AD. Из прямоугольного треугольника АВК имеем:

ВК = h = аsиnφ, АK = асоsφ.

Тогда AD = 2AK + BC = 2а соsφ + а.

Следовательно, S = ∙ BK = ∙ аsиnφ = = а2sinφ(1 + соsφ).

Ответ. а2sinφ(1 + соsφ).

V. Домашнее задание

1. 1. Подготовиться к тематической контрольной работы № 1.
2. 2. Решить задачи.

1) В рівнобічній трапеции параллельные стороны равны 60 см и 20 см, а непараллельные - 13 см и 37 см. Найдите площадь трапеции.

Решение

Пусть в трапеции ABCD (рис. 51) BC || AD, AD = 60 см, ВС = 20 см, АВ = 13 см, CD = 37 см.

Проведем CF || AB. В треугольнике CFD: CF = АВ = 13 см, СD = 37 см, FD = AD - BC = 60 - 20 = 40 (см). Найдем SΔCFD по формуле Герона:

SΔCFD = = = 240 (см2).

С другой стороны, SΔCFD = CK ∙ FD, где CKFD, тогда 240 = СK ∙ 40; СК = = 12 (см). SABCD = ∙ СК = ∙ 12 = 480(см2).

Ответ. 480 см2.

2) Докажите, что в прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности равен половине разности между суммой катетов и гипотенузой.

Решение

Пусть в треугольнике ABC C = 90°, О - центр вписанной окружности (рис. 52). Из точки О проведем радиусы окружности в точки касания К, D, F. Поскольку KCDO - квадрат, то KO = OD = CD = KC = r.

Пусть АС = b, СB = а, АВ = с, тогда BF = DB = a - r, AF = AK = b - r. Поскольку BF + AF = c, то имеем a - r + b - r = c, тогда 2r = а + b - с, r = , что и требовалось доказать.

3) Докажите, что площадь многоугольника, описанного около окружности, равна половине произведения периметра многоугольника на радиус круга.

Решение

Докажем для шестиугольника. Пусть многоугольник А1А2А3А4А5А6 описан вокруг окружности с центром О (рис. 53).

Проведем из точки О в точки соприкосновения отрезки, тогда будем иметь ВB1 = ОВ2 = ОВ3 = ОВ4 = ОВ5 = ОВ6 = r.

= r ∙ А1А2 + r ∙ А2А3 + r ∙ А3А4 + r ∙ А4А5 + r ∙ А5А6 + r ∙ А6А1 = r(A1A2 + A2A3 + A3A4 + A4A5 + A5A6 + A6A1) = rP.

VI. Подведение итогов урока

Вопрос к классу

Что новое вы узнали во время изучения этой темы?