УРОК 15

Тема. Формулы суммы (разности) одноименных тригонометрических функций. Преобразования произведения тригонометрических функций в сумму

 

Цель урока: изучение формул суммы и разности одноименных тригонометрических функций и формул преобразования произведения тригонометрических функций в сумму. Формирование умений учащихся применять изученные формулы для упрощения выражений и вычислений.

Оборудование. Таблица «Формулы преобразования суммы в произведение (произведения в сумму)».

И. Проверка домашнего задания

1. Два ученика на доске решают № 26 (1) и 26 (2). Один ученик в это время комментирует решение № 52 (12).

2. Решения аналогичных упражнений. Упростите выражения:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Ответ: а) соs2 α; б) ; в) 1; г) tg α.

 

II. Сообщение темы и задач урока

 

III. Восприятие и осознание нового материала

Демонстрируется таблица 7.

 

Таблица 7

 

Формулы преобразования суммы в произведение ; ; ; .

 

Объяснение учителя

1. Выведем формулу преобразования суммы синусов в произведение.

Обозначим , , тогда α + β = x, α - β = y, и поэтому

1) sin x + sin y = sin(α + β) + sin(α - β) = sin α · соs β + cos α · sиnβ + sin α · cos β - cos α · sиn β = 2sиn α · соs β = 2sиn соs .

Следовательно, сумма синусов равна удвоенному произведению синуса половину суммы на косинус піврізниці.

 

Для суммы косинусов имеем:

2) соs х + соs в = соs(α + β) + соs(α - β) = соs α соs β - sиn α sin β + cos α соs β + sиn α sиn β = 2 соs α соs β = 2 соs соs .

Следовательно, сумма косинусов равна удвоенному произведению косинуса половину суммы на косинус піврізниці.

 

Для разности косинусов имеем:

3) соs х - соs в = соs(α + β) - соs(α - β) = соs α соs β - sиn α sin β - cos α соs β - sиn α sиn β = - 2 sin α sin β = 2 sin sin .

Следовательно, разность косинусов равна числу, противоположному удвоенному произведению синуса половину суммы на синус піврізниці.

4) sin x - sin y = sin х + sin(-y) = 2 sinсоs .

Следовательно, разность синусов равна удвоенному произведению синуса піврізниці на косинус половину суммы.

2. Для получения формул преобразования произведения в сумму выпишем подряд четыре формулы:

sin(x + у) = sin x cos в + cos x sin у; (1)

sin(x - у) = sin x cos в - cos x sin у; (2)

cos(x + у) = cos x cos в - sin x sin у; (3)

cos(x - у) = cos x cos в + sin x sin у. (4)

Вычитая почленно из равенства (4) равенство (3), получим:

cos(x - у) - cos(x + у) = 2 sin x sin или sin x sin у = (cos(х - у) - cos(x + y))

Произведение синусов двух чисел равна піврізниці косинуса разности и косинуса суммы этих чисел.

 

Добавив почленно равенства (4) и (3), имеем:

соs(x - у) + соs(х + у) = 2 соs x соs или cos x cos y = (cos(x - у) + cos(х + у))

Произведение косинусов двух чисел равна полусумме косинуса разности и косинуса суммы этих чисел.

 

Добавив почленно равенства (1) и (2), получим

sin(x - у) + sin(х + у) = 2 sin x cos или sin x cos у = (sin(x - у) + sin(x + у))

Произведение синуса одного числа на косинус второго числа равна полусумме синуса разности и синуса суммы этих чисел.

 

Выполнение упражнений

1. Упростите выражения:

а) - ;

б) - ;

в) sиn α · ;

г) +.

Ответ: а) sin β; б) sin 2α; в) ; г) cos α.

2. Вычислите:

а) соs 22° - соs 38°;

б) sin 5° + sin 55°.

Ответ: а) sиn 8°; б) соs 25°.

3. Преобразуйте в произведение:

а) соs 2α + соs 14α + соs 6α + соs 10α;

б) sin 4β + sin 10β + sin 22β + sin 16β .

Ответ: а) 4соs 2α соs 4α соs 8α; б) 4 соs 3β соs 6β sиn 13β.

4. Докажите тождество:

а) ; б) .

 

IV. Подведение итогов урока

 

V. Домашнее задание

Раздел И § 10 (5, 6). Вопросы и задания для повторения раздела И № 69-70. Упражнения№ 52 (8; 15), № 53 (8; 15; 16)