Интеграл
Пусть
- непрерывная функция, неотрицательная на отрезке
. Разобьем отрезок
на
n равных частей точками
,
где
.
Образуем произведения
,
и так далее и найдем их сумму
.Найдем
.
Эта граница называется
интегралом функции
от a до b.
Обозначение:
, где
a - нижний предел интегрирования,
b - верхний предел; функция
- подынтегральная функция, выражение
- підінтегральний выражение,
x - переменная интегрирования.
Следовательно,
.
Криволинейная трапеция - это фигура, ограниченная графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке
функции
, отрезком
и прямыми
и
.
Площадь такой криволинейной трапеции равна
.
Формула Ньютона - Лейбница
, где
- функция, непрерывная на отрезке
, а
- произвольная первообразная для
на
. Эту формулу можно записать в виде
.
Свойства интеграла
1.
.
2.
, где
k Является
R.
3.
, где
.
4.
, где
p Является
R,
k Является
R.
Вычисление площадей плоских фигур с помощью интеграла
Пусть есть какая-нибудь фигура, ограниченная графиком функции
и
. Если обе функции
и
непрерывны на отрезке
, причем
,
, а для всех
,
, то площадь такой фигуры равна
.