Часть 5 АТОМНАЯ ФИЗИКА

Раздел 15 СТРОЕНИЕ АТОМА

15.7. Основные положения теории Бора - Зоммерфельда

Найденные ранее значения энергии для стационарных состояний гідрогеноподібних ионов и атома водорода в случае круговых орбит (15.19) и (15.20) определяются только одним квантовым числом. Теория Бора была далее развита А. Зоммерфельдом, который доказал, что при отыскании стационарных состояний должны учитываться не только круговые, но и эллиптические орбиты, а также и и пространственная ориентация, которой орбиты могут приобретать в магнитном поле. Все это привело к введению в теорию новых квантовых чисел. Те же квантовые числа, что и в теории Бора - Зоммерфельда, но в другом толковании достаем при определении стационарных состояний в квантовой механике.

Для энергетических уровней гідрогеноподібних ионов расчеты проведены с учетом эллиптичности орбит, как и расчеты, основанные на квантовой механике, дают формулу, которая совпадает по формуле (15.19)

где n - главное квантовое число, которое определяет размеры орбиты. От этого числа зависит главным образом энергия электрона в атоме. Оно может приобретать только целочисленных значений (n = 1, 2, 3,...).

Согласно теории Бора, которая ограничивалась случаем круговых орбит, момент импульса L электрона в атоме определяется только главным квантовым числом:

В теории Бора - Зоммерфельда, которая учитывает возможность эллиптических орбит, момент импульса электрона также является величине, кратной h(2π), т.е. элементарному момента импульса, но его значение определяется уже не главным квантовым числом л, а другим квантовым числом l, которое называют орбитальным, побочным, или азимутальной. По этой теории

При заданном главном квантовом числе n орбитальное квантовое число l может принимать целочисленных значений от 0 до n - 1.

Следовательно, для электрона, что содержится в гідрогеноподібному iоные на n-энергетическом уровне могут быть: одна круговая орбита при l = n - 1 и n - 1 эллиптических орбит с одинаковой длиной большой полуоси и различным эксцентриситетом (отношением полуосей). Так, при n = С возможные орбиты, схематично изображены на рис. 15.9. Как видно из рисунка, при установившемся п с увеличением l орбита электрона становится все опуклішою. Наоборот, с уменьшением l увеличивается степень вытянутости орбиты и ее эксцентриситет. Следовательно, при заданном главном квантовом числе орбитальное квантовое число l определяет форму орбиты.

Орбитальное квантовое число l определяет состояние электрона в атоме. Если движение электрона характеризуется значением квантового числа l = 0, то электрон находится в s-состоянии, а сам электрон называют s-электроном. Квантовому числу l = 1 соответствует р-состояние электрона, l = 2 - d-состояние, l=3 - f-состояние и далее, согласно порядку букв в латинском алфавите.

Следует заметить, что, с точки зрения квантовой механики, геометрическую интерпретацию теории Бора - Зоммерфельда рассматривают только как приближенную иллюстрацию настоящего движения электронов в атоме. В квантовой механике орбитальный момент импульса электрона определяют таким соотношением:

Это выражение существенно отличается от предыдущего, в частности тем, что он свидетельствует о возможности таких движений электрона, для которых орбитальный момент импульса электрона равен нулю (при l = 0). Согласно теории Бора такой движение электрона должен соответствовать невозможном прохождению электрона через ядро.

Третье квантовое число m_l, которое называют магнитным квантовым числом, определяет пространственное распределение траекторий движения электрона (в теории Бора пространственную ориентацию орбит), а следовательно, и проекцию вектора магнитного момента или момента импульса орбиты на заданное направление.

Орбиту, по которой движется электрон, можно рассматривать как контур тока. Такой контур будет характеризоваться определенным значением орбитального магнитного момента электрона _l векторной величиной, направленная вдоль оси орбиты в ту сторону, куда направлена индукция магнитного поля, создаваемого этим контуром. Между вектором орбитального магнитного момента электрона _l и его орбитальным моментом импульса (орбитальный механический момент) _l существует такая связь:

где е - заряд электрона; m_e - масса; - гиромагнитное отношение. Следовательно, орбитальный магнитный момент электрона пропорционален орбитальному механическому моменту, причем эти моменты противоположны по направлению, так как электрон имеет отрицательный заряд (рис. 15.10).

Рис. 15.9 Рис. 15.10

Учитывая (15.26), формулу (15.27) можно записать в таком виде:

Величину называют магнетоном Бора.

В классической физике предполагалось, что вектор _l (а следовательно, и вектор _l) может быть произвольно ориентированным относительно выбранного направления. Согласно теории Бора - Зоммерфельда такое предположение означает произвольность ориентации орбиты электрона относительно внешнего магнитного поля. Однако оказалось, что здесь происходит так называемое пространственное квантование: при воздействии внешнего магнитного поля на атом могут реализоваться только такие ориентации орбит, для которых проекция вектора момента импульса _l на направление оси OZ, совпадающей с направлением вектора индукции магнитного поля, кратна h/(2π):

где m_l - магнитное квантовое число, которое при заданном орбитальном квантовом числе l приобретает значения от -l до +l, включая 0, т.е. m_l = 0, ±1, ±2,.... Следовательно, вектор _l может иметь 2l + 1 ориентаций в пространстве, а это означает, что при данном l электрон в атоме, который помещен в магнитное поле, может двигаться по 2l + 1 орбитах, которые отличаются своей ориентацией относительно направления магнитного поля. Выражение (15.29) для проекции момента обобщенно квантовой механикой, но при других представлениях о движении электрона в атоме, при произвольном направлении оси квантования (учитывая случай, когда магнитного поля нет). На рис. 15.11 изображены возможные значения проекций орбитального механического момента на направление магнитного поля для случаев l = 3 и l = 2.

Рис. 15.11

Пространственное квантование приводит к расщепление в магнитном поле энергетического уровня электрона на ряд подуровней, а следовательно, и к расщеплению спектральных линий. Такое явление наблюдал П. Зеєман.

Четвертое квантовое число m_S называют спіновим. Существование этого квантового числа было доказано при исследовании атомных спектров. Оказалось, что все спектральные линии имеют так называемую «тонкую структуру», которая наблюдается и без внешнего магнитного поля.

Так, все спектральные линии водорода и щелочных металлов являются дублетами, то есть состоят из двух отдельных близко расположенных линий. Для объяснения этого экспериментального факта Дж. Уленбек и С. Гаудсміт выдвинули гипотезу (1925 г.) о том, что электрон (заряженная шарик) вращается вокруг своей оси. Все электроны вращаются независимо от того, свободны они или связанные в атомах твердых тел, жидкостей или газов.

Вследствие вращения вокруг своей оси электрон имеет собственный механический момент s, который называют спином. Численно он равен Электрону присущ также собственный магнитный момент, равный магнетону Бора

где е и m - соответственно заряд и масса электрона. Собственный механический и магнитный моменты электрона могут быть ориентированными только двумя способами: параллельно или антипаралельно до какого-то выбранного направления. Поэтому спінове квантовое число может принимать только два значения, а именно: 1/2 и -1/2. Следовательно, в отличие от введенных ранее трех квантовых чисел (n, l, m_l) квантовое число m_S не есть цілочисловим.

Гипотеза о том, что электрон имеет собственный механический момент (спин) и собственный магнитный момент, дала возможность объяснить результаты опытов О. Штерна и В. Герлаха, выполненных ими в 1921-1923 pp. Целью этих опытов было определение магнитных моментов атомов разных химических элементов и экспериментальная проверка положения о пространственное квантование.

Если пространственного квантования нет, то есть ориентация магнитных моментов атомов во внешнем магнитном поле произвольная, то на экране будет наблюдаться непрерывный распределение атомов. При пространственном квантовании пучок атомов после прохождения неоднородного магнитного поля расщепляется на несколько пучков. Такое расщепление атомных пучков наблюдали А. Штерн и В. Герлах и тем самым доказали справедливость положения о пространственном квантование магнитных моментов атомов. Однако оказалось, что в отдельных опытах есть расхождение между результатами эксперимента и требованиями теории. Так, в экспериментах с гідрогеном, литием, аргентумом наблюдалось расщепление пучка атомов, проходит неоднородное магнитное поле, на два пучка, тогда как за теории эти атомы не должны подвергаться воздействию магнитного поля, поскольку их орбитальные магнитные моменты в основном состоянии равны нулю. Аномальное расщепление, которому подвергаются пучки атомов водорода, лития, аргентуму, становится понятным, если принять во внимание гипотезу Дж. Ухленбек и С. Гаудсміта о наличие у электрона спина и связанного с ним собственного магнитного момента, а магнитный момент атома рассматривать как векторную сумму орбитального и собственного магнитных моментов электронов. При этом Дж. Уленбек и С. Гаудсміт представляли электрон как шарик. С развитием физики, в частности квантовой механики, эти представления оказались достаточно приближенными. Однако наличие собственного механического и магнитного моментов рассматривается теперь как неотъемлемое свойство электрона. Спин и собственный магнитный момент имеют также протон, нейтрон и другие элементарные частицы.