Часть 4

ОПТИКА. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Раздел 14 СКОРОСТЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ СВЕТА. ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

14.6. Выводы из преобразований Лоренца

Следует отметить, что в формулы преобразований Лоренца (14.9) и (14.10) входят не длины отрезков и промежутки времени, а координаты отдельных событий. Например, время t отсчитывается по часам, находится в состоянии покоя в системе К, а время t - по часам, что не движется в системе К'. Из преобразований Лоренца вытекает немало необычных с точки зрения классической механики выводов.

1. Относительность одновременности. В классической физике промежуток времени между любыми двумя событиями не зависит от системы отсчета. Это нашло свое отражение в преобразованиях Галилея для времени: t = t’. Тогда промежуток времени

где t_i и t_i’ - моменты времени, соответствующие осуществлению первой (t₁ и t₁’) и второй (t₂ и t₂’) событий, измеренных соответственно в неподвижной и движущейся инерциальных системах отсчета. Если τ = τ', то два события одновременные в некоторой инерциальной системе отсчета (τ = 0) должны быть одновременными и в всех других инерциальных системах отсчета (τ' = 0). Следовательно, исходя из преобразований Галилея, одновременность абсолютна. Из преобразований Лоренца вытекает относительность одновременности: события, одновременные в одной инерциальной системе отсчета, не обязательно являются одновременными в других инерциальных системах, движущихся относительно первой прямолинейно и равномерно. Действительно, пусть в системе К два события произошли в момент времени t₁ и t₂, a место их определяется координатами х₁ и х₂. В системе К' этим событиям будут соответствовать моменты времени t₁’ и t₂’ и координаты х₁’ х₂’. Предположим, что в системе К события происходят одновременно, то есть t₁ = t₂ = t. Тогда, исходя из преобразований Лоренцо (14.9), можно записать

Из формул (14.11) следует, что когда одновременные события в системе К происходят в одной точке пространства (x₁ = х₂), они совпадут в пространстве (х₁’ = х₂’) и времени (t₁’ = t₂’) и в системе К’, а также в любой другой инерциальной системе, которая движется относительно системы К. Однако если одновременные события в системе К пространственно разделены (x₁ ≠ x₂) то в системе К' они неодночасні (t₁’ ≠ t₂’) И пространственно разделены (х₁’ ≠ х₂’).

2. Замедление времени. Рассмотрим процесс, происходящий в точке с координатой х’ неподвижной относительно системы К'. Обозначим длительность этого события по часам системы К' через τ', причем τ' = t₂’ - t₁’, где индексы 1 и 2 соответствуют началу и концу процесса. Определим продолжительность события τ = t₂ - t₁ в системе К. В соответствии с формулами преобразования Лоренца (14.10) можно записать:

Следовательно, продолжительность события, происходит в определенной точке, минимальная в той инерциальной системе отсчета, относительно которой эта точка является неподвижной. Полученный результат можно сформулировать иначе, а именно: часы, который движется относительно инерциальной системы отсчета, идет медленнее часов, что находится в состоянии покоя. Поэтому текучесть времени в подвижной системе медленнее, чем в неподвижной. Из соотношения (14.12) видно, что замедление хода часов становится существенным лишь при скоростях υ, приближающихся к скорости света в вакууме. Релятивистский эффект замедления текучести времени блестяще подтвердился в опытах с μ-мезонами - нестабильными элементарными частицами, входящими в состав космического излучения. Среднее время жизни недвижимого μ-мезона составляет около 2 ∙ 10^-6 с. Казалось бы, что, двигаясь даже со скоростью света, μ-мезоны могут пройти путь около 600 м. Однако, как свидетельствуют наблюдения, ц-мезоны возникают в космическом излучении на высоте 20...30 км и многие из них достигает поверхности Земли. Это объясняется тем, что 2 ∙ 10^-6 с - собственное время жизни μ-мезона - время, измеренное по часами, который бы двигался вместе с ним. Время, отсчитанный по часам экспериментатора на Земле, в соответствии с соотношением (14.12), гораздо больший.

3. Формула лоренцового сокращения. Рассмотрим стержень, расположенный вдоль оси х, который находится в состоянии покоя относительно системы К'. Тогда относительно системы К этот стержень будет двигаться со скоростью υ. Сравним длины стержня в системах К и К'. В системе К’, относительно которой стержень находится в состоянии покоя, определение длины стержня сводится к определению координат х₁’ х₂’ его концов. Длиной стержня в системе К' l’ = х₂’ - х₁’.

В системе К, относительно которой стержень движется, дело осложняется тем, что надо определить одновременно координаты концов стержня x₁ и х₂. Тогда l = x₂ - x₁. Согласно формул преобразований Лоренца (14.9) имеем

Отсюда

Следовательно, в системе К, относительно которой стержень движется, длина его меньше, чем в системе К’ , относительно которой стержень находится в состоянии покоя. Соотношение (14.13) называют формулой ло - ренцового сокращения. Следует заметить, что формулы преобразований Лоренца теряют свой смысл, когда υ = с, поскольку тогда в знаменателе появляются нули, а деление на ноль, как известно, невозможно. Это означает, что никакие две системы отсчета не могут иметь относительную скорость, которая равнялась бы скорости света. Этот результат следует также из формулы лоренцового сокращения: тело двигалось бы со скоростью света, мало бы продольные размеры, которые равнялись бы нулю.

4. Закон сложения скоростей. В классической механике, как известно, скорость тела просто добавляется к скорости системы отсчета. Рассмотрим этот вопрос в релятивистской механике и ограничимся одномерным случаем. Пусть в двух системах отсчета К и К' изучается движение тела, которое перемещается прямолинейно и равномерно параллельно осям х и х’ обеих систем отсчета (см. рис. 14.5). Пусть скорость тела, определенная в системе К, есть u, а скорость того же тела, определенная в системе К’ - u’. Скорость системы К' относительно системы К обозначим через υ. Вследствие движения тела его координаты в системах К и К' меняются. Начальное положение тела в системе К определяется координатами х₁, t₁, конечное - х₂, t₂. В системе К' координаты тела соответственно равны х₁’, t₁’ х₂’, t₂’. Скорость тела определяется отношение пройденного телом пути к соответствующему промежутку времени. Поэтому для нахождения скорости тела в обеих системах отсчета надо разницу пространственных координат обоих событий поделить на разницу временных координат:

Из формул преобразований Лоренца достанем

Поделим соответственно правые и левые части этих равенств:

Следовательно, получим релятивистскую формулу сложения скоростей

Рассмотрим воображаемый эксперимент. Пусть ракета движется со скоростью света (u’ = с) относительно системы К’, а сама система К' также движется относительно системы К со скоростью υ= = с. Какова будет скорость ракеты относительно неподвижной системы К? Чтобы ответить на этот вопрос, воспользуемся релятивістським законом сложения скоростей (14.18)

Этот результат объясняет и опыт Майкельсона. Один из основных выводов специальной теории относительности состоит в потому, что ни одно тело не может двигаться со скоростью, большей скорости света в вакууме. Действительно, если скорость тела приближается к скорости света, то его объем в результате лоренцового сокращение (14.13) будет стремиться к нулю, а масса - к бесконечности.

Следует обратить внимание на то, что одинаковой во всех системах есть только скорость света в вакууме. Скорость света в веществе в разных системах отсчета разная. Значения с/n она имеет в системе отсчета, связана со средой, в которой распространяется свет. Если υ « с, то формула (14.18) переходит в формулу сложения скоростей классической механики.