Иррациональные уравнения
Уравнения, в которых неизвестное содержится под знаком корня, называются
иррациональными. Решая иррациональные уравнения, пытаются привести их к виду:

или

, а затем возвести обе части уравнения в
n-ой степени. Но если возвести обе части уравнения к парному степень могут появиться посторонние корни. Например:

, ОДЗ:

;

,

,

,

.

;

- правильно.
Но если

, имеем

;

, то есть

- посторонний корень.
Целесообразно решать иррациональные уравнения одним из двух приведенных способов.
И способ
Выполнять преобразования, несмотря на их равносильность. Все полученные корни проверить. Обратите внимание: для проверки корень надо подставлять только в условие, когда уравнение еще не претерпело никаких преобразований.
При этом способе решения целесообразно записать, при каких значениях неизвестного обе части уравнения имеют смысл. Иногда в процессе решения получают посторонние корни, которые не удовлетворяют ОДЗ. Но проверка корней по условиям ОДЗ не является достаточным. В приведенном выше примере посторонний корень 1 удовлетворяет ОДЗ

.
II способ
Можно решать иррациональные уравнения, используя только равносильные переходы. Удобно пользоваться такими утверждениями:
1)


2)

Примеры
1)













.
2)












Рассмотрим еще несколько примеров решения иррациональных уравнений.
1. Отделения корня



















2. Иррациональные уравнения, сводящиеся к квадратным
Если уравнение содержит выражения

и

, то можно использовать, что

для тех значений
х, при которых

.
Итак, введем новую переменную


. Достанем

.
Пример
, ОДЗ:

.
Пусть

,

.

,

,

не удовлетворяет условие

.

,

;

.
Ответ: 253.
3. Замена переменной.
Пример

,
ОДЗ:

.
Пусть

,

.
Тогда

.
Итак,

,

,

,

,

не удовлетворяет условие

.

,

,

.
Ответ: 0; -5.
4. Уравнение вида

Воспользуемся тождеством

.
Пример

.
Возведем обе части уравнения в третьей степени:


.
Надо найти такие значения
х, для которых

. Итак, имеем:

,

,

,

,

,

Этот способ решения требует проверки.
Проверка

.

;

- правильно.

.

;

- правильно.
Ответ: 80; -109.