Иррациональные уравнения

Уравнения, в которых неизвестное содержится под знаком корня, называются иррациональными. Решая иррациональные уравнения, пытаются привести их к виду:
или , а затем возвести обе части уравнения в n-ой степени. Но если возвести обе части уравнения к парному степень могут появиться посторонние корни. Например:
, ОДЗ: ;
,
,
, .
; - правильно.
Но если , имеем ;
, то есть - посторонний корень.
Целесообразно решать иррациональные уравнения одним из двух приведенных способов.
И способ
Выполнять преобразования, несмотря на их равносильность. Все полученные корни проверить. Обратите внимание: для проверки корень надо подставлять только в условие, когда уравнение еще не претерпело никаких преобразований.
При этом способе решения целесообразно записать, при каких значениях неизвестного обе части уравнения имеют смысл. Иногда в процессе решения получают посторонние корни, которые не удовлетворяют ОДЗ. Но проверка корней по условиям ОДЗ не является достаточным. В приведенном выше примере посторонний корень 1 удовлетворяет ОДЗ .
II способ
Можно решать иррациональные уравнения, используя только равносильные переходы. Удобно пользоваться такими утверждениями:
1)
2)
Примеры
1)


.
2)



Рассмотрим еще несколько примеров решения иррациональных уравнений.
1. Отделения корня






2. Иррациональные уравнения, сводящиеся к квадратным
Если уравнение содержит выражения и , то можно использовать, что для тех значений х, при которых .
Итак, введем новую переменную . Достанем .
Пример
, ОДЗ: .
Пусть , .
,
, не удовлетворяет условие .
,
; .
Ответ: 253.
3. Замена переменной.
Пример
,
ОДЗ: .
Пусть , .
Тогда .
Итак, ,
,
,
, не удовлетворяет условие .
,
,
.

Ответ: 0; -5.
4. Уравнение вида
Воспользуемся тождеством
.
Пример
.
Возведем обе части уравнения в третьей степени:

.
Надо найти такие значения х, для которых . Итак, имеем:
,
,
,
,
,

Этот способ решения требует проверки.
Проверка
.
;
- правильно.
.
;
- правильно.
Ответ: 80; -109.