Некоторые способы решения тригонометрических уравнений

1. Уравнения, сводящиеся к квадратным
.
легко выразить через с помощью основной тригонометрической тождества :
.
Следовательно, ;
.
Пусть , .
;
; .
1) ; , k Є Z.
2) ; , k Є Z.
Ответ: , k Є Z;
, k Є Z.
2. Способ разложения на множители
;
;
;


Ответ: n Є Z;
k Є Z.
Если во время решения получаем совокупность нескольких серий решений, целесообразно проверить, нельзя их описать общей формулой. Для этого рекомендуется использовать тригонометрическое круг:

Например, обозначив на круге две серии:

видим, что ответ можно записать в виде k Є Z.
3. Однородные уравнения
В общем случае однородное тригонометрическое уравнение имеет вид:

, где .
Значения x, при которых , не является решением уравнения. Действительно, если , то уравнение примет вид , откуда . Но и не могут превратиться в 0 одновременно.
Из этого следует, что при делении обеих частей уравнения на не может произойти потеря корней.
Получаем: .
Введем новую переменную и получим алгебраическое уравнение: .
Обратите внимание: если в левой части уравнения можно вынести за скобки, то деление на ведет к потере корней.
Примеры
1) ;

;
;
.
Пусть .
;
; .
а) ; , n Є Z;
б) ; , n Є Z.
Ответ: , n Є Z;
, n Є Z.
2) ;
;
;


Ответ: , n Є Z, , n Є Z.
4. Способ введения вспомогательного аргумента
Этот способ применяется для решения уравнений вида asinx ++ bcosx = c.
Поделим обе части уравнения на . Получим:
.
Очевидно ,
.
Из этого следует, что можно ввести до рассмотрения угол .
Тогда ; , и уравнение примет вид:

или .
Можно принять:
, .
Тогда достанем .
Уравнение вида можно решать и другим способом:
.
Использовав тождество , получим однородное уравнение.
5. Уравнения, содержащие тригонометрические функции в знаменателе. Отбор корней
Эти уравнения сводятся к виду , а затем решают систему
Пример


Отбор корней удобно выполнять, воспользовавшись тригонометрическим кругом.
Обозначим на окружности точки, соответствующие углам вида , n Є Z.
Затем отбросим (выколи) те из них, которые имеют вид , k Є Z (см. рисунок ниже).

Ответ: , n Є Z.
6. Случай, когда надо найти только определенные развязки
Пример. Сколько решений уравнения принадлежат промежутку ?
;
;
;
;
;


Надо ответить на вопрос, сколько решений принадлежит промежутку
I способ. Рассмотрим неравенства:
1) ; 2) ;
; ;
. .
n = 0; 1; 2; 3, ,
поскольку n Является Z.поскольку n Является Z.
Таким образом, промежутка принадлежат пять решений уравнения.
II способ. Можно воспользоваться тригонометрическим кругом, если обозначить на нем соответствующие решениям уравнения точки и отобрать те, что содержатся в первой четверти.