Понятие об обратной функции

Функция, которая принимает каждое свое значение в единственной точке области определения, является обратимой.
В такой функции по значению зависимой переменной можно однозначно определить, какому значению аргумента соответствует.
Иначе говоря, если функция является обратимой и число а принадлежит к ее области значений , то уравнение имеет решение, причем единственное.
Обращенной к данной обратимой функции называется такая функция , которая каждому из множества значений функции ставит в соответствие единственное число x из области определения.
Если аргумент и функцию записи обозначить обычным способом, получим .
График функции g, обратной к функции f, симметричный графику f относительно прямой .
Если функция f возрастает (или убывает) на промежутке I, то она является обратимой. Обратная к f функция g, определенная в области значений f, тоже является возрастающей (или убывающей).
Приведем некоторые примеры обратных функций.
1. На промежутке функция является обратимой. Обращенной к ней на этом промежутке функция .
На рисунке изображены функция и обратная к ней функция :

2. y = arcsin x- функция, обратная к , если .
Итак, запись означает, что ; .
Обратите внимание: в некоторых случаях нельзя назвать точного значения . Например, , но для можем найти только приближенное значение.
Свойства функции:
1) область определения ;
2) область значений ;
3) функция нечетная, потому - симметрична относительно 0; .
Значит, график симметричен относительно начала координат;
4) функция не является периодической;
5) ;
6) функция возрастающая;
7) при ,
при ;
8) наибольшее значение , если , меньше , если .
График функции изображен на рисунке:

Обратите внимание на равенстве:
;;
; .
Обратите внимание:
3. y = arccos x - функция, обратная к , если .
Итак, запись означает, что ; .
Свойства функцииy = arccosx:
1) ;
2) ;
3) функция не является ни четным, ни нечетным;
4) функция не является периодической;
5) , ;
6) функция убывающая;
7) функция положительна на всей области определения;
8) наибольшее значение , если , наименьшее - 0, если .
График функции изображен на рисунке:

; ;
; .
.
4. - функция, обратная к , если .
Запись b = arctg(a) означает: .
Свойства функцииy = arctgx:
1) ;
2) ;
3) функция нечетная. симметрична относительно 0, .
График симметричен относительно начала координат;
4) функция не является периодической;
5) ;
6) функция возрастающая;
7) , если ,
, если ;
8) функция не приобретает наибольшего и наименьшего значений.
, если ;
, если ;
.
График функции изображен на рисунке:

5. - функция, обратная к , если .
Запись означает, что ; .
Свойства функцииy = arcctgx:
1) ;
2) ;
3) функция не является ни четным, ни нечетным;
4) функция не является периодической;
5) ,
при любом значении х;
6) функция убывающая;
7) положительна на всей области определения;
8) функция не приобретает наибольшего и наименьшего значений.
График функции изображен на рисунке:

, ,
, ,
, .