Тригонометрические функции числового аргумента
Рассмотрим единичное (тригонометрическое) круг, центр которого расположен в точке
и радиус которого равен 1 (см. рисунок).
Пусть точка
P0 - это точка (1; 0). Каждую другую точку круга можно достать поворотом
P0 вокруг начала координат. Будем считать отрицательным направление поворота по часовой стрелке, положительным - против.
Точку, которую получим поворотом
P0 вокруг начала координат на угол
, назовем
. Очевидно, что значения
могут быть от
до
, причем углы, меры которых отличаются на
,
, дают на кругу одну и ту же точку. Например:
,
.
Введем обозначения:
;
;
;
.
Значения
,
,
,
зависит только от угла
.
Для
эти определения дают тот же результат, что и определение с помощью элементов прямоугольного треугольника.
Если определение
,
,
,
введенные таким образом, то очевидно, что мы получили числовые функции. Действительно, каждому значению
соответствует единственное значение
и
. Также каждому действительному значению
, 
соответствует единственное значение
и каждому значению
,
соответствует единственное значение
.
Проведем касательную
t к единичного круга в точке
(см. рисунок ниже). Она называется
линией тангенсов, потому что ордината точки пересечения прямой
с прямой
t равна тангенсу угла
.
Проведем касательную
q до единичного круга в точке
(см. рисунок на с. 73). Для произвольного числа
,
, абсцисса точки пересечения прямой
с прямой
q равна котангенсу угла
. Поэтому прямая
q называется
линией котангенсів.
Соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
.
Основой для вывода остальных формул являются
формулы сложения:
;
;
;
;
;
.
Формулы приведения
Формулы возведения помогают выразить значения тригонометрических функций углов вида
,
,
,
через функции угла
(табл. 1). Соответствующие формулы легко запомнить, пользуясь такими правилами:
1) если аргумент функции имеет вид
или
, то название функции меняется на кофункцію (синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот), а если аргумент имеет вид
,
, название функции не меняется;
2) перед образованной функцией ставится тот знак, который имеет исходная функция, если
- угол в i четверти.
Используя эти формулы, а также периодичность тригонометрических функций (см. ниже) значение тригонометрической функции произвольного угла свести к значение функции острого угла.
Формулы суммы и разности одноименных тригонометрических функций
;
;
;
;
;
.
Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму
;
;
.
Формулы двойного аргумента
;
;
;
;
.
Формулы половинного аргумента
;
;
;
.
Формулы преобразования синуса и косинуса угла через тангенс половины этого угла
;
;
.