Описанные шары

Каждая грань вписанного в сферу многогранника является вписанным в некоторую окружность решеточным. Основания перпендикуляров, опущенные из центра описанного шара на плоскости граней, являются центрами описанных вокруг граней кругов. Итак, центром шара, описанной вокруг многогранника, является точка пересечения перпендикуляров к плоскости граней, проведенные через центры окружностей, описанных вокруг граней.
Если призма вписана в шар, то она является прямой и вокруг ее основания можно описать окружность.
Например, произвольная правильная призма может быть вписана в шар. Центром описанной шара будет середина высоты призмы, проходящей через центры окружностей, описанных вокруг оснований призмы. Центр описанной вокруг призмы шара может будет расположен внутри призмы, вне призмой, на боковой грани.
Вокруг любой правильной пирамиды можно описать шар. Центр ее лежит на оси пирамиды. Центр описанной вокруг пирамиды шара может лежать внутри пирамиды, вне пирамидой, на боковой грани, на основе.
Центр описанной вокруг пирамиды шара - точка пересечения перпендикуляра, проведенного к основанию пирамиды через центр описанной вокруг основания окружности, и серединного перпендикуляра до бокового ребра, проведенного в плоскости, которая проходит через боковое ребро и названный выше проведенный к основанию пирамиды перпендикуляр.
Для правильной пирамиды центр описанного шара - это точка пересечения прямой, содержащей высоту пирамиды, и серединного перпендикуляра до бокового ребра.
Пример
На рисунке SABCD - правильная четырехугольная пирамида, вписанная в сферу. P - центр описанного шара, PN - срединный перпендикуляр до бокового ребра.
(Обратите внимание: если в условии задачи не задано, где лежит центр описанной шара - внутри пирамиды или вне пирамидой, желательно разобрать, влияет ли это на решение задачи и как именно.)

- радиус описанного шара Rк.
OC - радиус круга, описанного вокруг основания Rосн.
- высота пирамиды.
;
или ;
, где b - боковое ребро.
Если усеченная пирамида вписана в шар, то ее основания - многоугольники, вокруг которых можно описать круг. Боковые грани такой усеченной пирамиды - равносторонняя трапеции. Итак, все боковые ребра равны друг другу. Из этого следует, что боковые ребра исходной пирамиды равны, значит, основа исходной высоты пирамиды - центр круга, описанного вокруг ее основания.
Центр описанного шара находим так же, как и для полной пирамиды.