УРОК 1

Тема. Числовые функции. Возрастающие и убывающие, четные и нечетные функции

 

Цель урока: Обобщение и систематизация знаний учащихся о числовые функции (область определения и область значения функций, возрастающие и убывающие функции, четные и нечетные функции).

И. Мотивация обучения

Процессы реального мира тесно связаны між. собой. Среди многообразия явлений ученые выделили такие, в которых взаимосвязь величин настолько тесен, что, зная значение одной из них, можно определить значение второй величины.

Например, зная сторону квадрата, можно найти его площадь или периметр.

Зависимость переменной у от переменной х, при которой каждому значению χ соответствует единственное значение у, называется функцией.

С понятием функции вы познакомились в курсе алгебры. Понятие функции является важным понятием курса алгебры и начал анализа, следовательно, мы должны вспомнить и обобщить сведения о функциях. Кроме того, исследуя свойства функций, мы имеем возможности основательнее познать реальный мир.

 

II. Систематизация и обобщение основных сведений о числовые функции

Числовой функцией с областью определения D называется зависимость, при которой каждому числу х из множества D ставится в соответствие по некоторому правилу единственное число у из множества Е.

Переменная х называется независимой переменной или аргументом функции, а переменная у - зависимой переменной или функцией.

Функцию обозначают латинскими буквами f, g, h... (или f(x), g(x), h(x)) или равенствами у = f(x), у = g(x), у = h(x)... Если заданное конкретное значение независимой переменной х = х0, то у0 = f(x0) называется значением функции f в точке х0.

Область определения функции обозначается D(f) (от анг. define - определить). Множество, состоящее из всех чисел f(x) таких, что х принадлежит области определения функцииf, называется областью значений функции и обозначается E(f) (от анг. exist - существовать).

Рассмотрим пример. Результаты измерения температуры тела больного в зависимости от времени представлен в таблице:

 

Время суток х (ч)	9	12	15	18	21	24
Температура тела y=f(x) (С°)	39	38,5	38,3	37,3	37,1	37

 

Зависимость у·= f(x) является функцией, х - независимая переменная, у - зависимая переменная.

f(9) = 39, f(12) = 38.5,..., f(24) = 37.

D(f) = {9;12;15; 18; 21; 24}.

E(f) = {39; 38,5; 38,3; 37,3; 37,1; 37}.

Функцию можно задать с помощью таблицы, графика, формулы.

Чаще всего функцию задают формулой, которая дает возможность получить значение зависимой переменной у, подставив предельное значение аргумента х.

Например. Если каждому значению х из множества действительных чисел поставить в соответствие квадрат этого числа, то-функцию можно записать в виде формулы:

у = х2 или f(x)= x2.

Областью определения функции у = f(x), которая задана формулой, называется множество тех значений, которые может принимать х, то есть формула имеет смысл (все действия, указанные формуле, можно выполнить). При нахождении области определения следует помнить:

1) Если функция является многочленом в = аn хn + αn-1 xn-1 +... + α1x + a0, то D(y) = (-; +) = R.

2) Если функция имеет вид у = , где f(x) и g(x) - многочлены, то следует считать g(x)0 (знаменатель дроби не равен 0).

3) Если функция имеет вид у = , то следует считать f(x) > 0 (арифметический квадратный корень существует только из неотрицательных чисел).

Графиком функции у = f(x) называется множество всех точек плоскости с координатами (x;f(x)) , где первая координата «пробегает» всю область определения функции у = f(x), а вторая координата - это соответствующие значения функции в точке х.

 

1. Найдите значение функции:

 a) f(x) = в точках 1; -1; 5;

б) f(x) = в точках 3; 12; 52.

Ответ: а) f(1) = 2, f(-1) = 0; f(5) = 1,2;

б) f(3) = 0; f(12) = 3; f(52) = 7

2. Функция задана формулой у = x2 на области определения D = {-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3}. Задайте ее с помощью:

а) таблицы; б) графика.

Ответ:

a)	x	-3	-2	-1	0	1	2	3
	y	9	4	1	0	1	4	9

б) рис. 1

 

3. Найдите область определения функции:

а) у = х2 + х3; б) ; в) ; д) ; е) .

Ответ:

a) D(y) = R; б) D(y) = (-; 3) (3; +); в) D(y) = (-;-2) (-2;0) (0;+); г) D(y) = (-; -3) (-3; 3) (3; +); д) D(y) = (-l) (l;4) (4;+); в) D(y) = [-6;+).

4. Найдите область значений функции: а) у =; б) у = -1.

Ответ: а) Е(у) = [2; +); б) Е(у) = [1; +).

 

 

 

 

 

5. Для функций, графики которых изображены на рис. 2, укажите D(y) и Е(у).

 

 

 

 

Рис. 2

 

Ответ:

а) D(у) = [-1;1]; Е(у) = [0;1];

б) D(y) = [-1;1]; E(y) = [-2;2];

в) D(y) = (-1;1); E(у) = R;

г) D(y) = R; Е(у) = (-1;1).

6. Какие из линий, изображенных на рисунке 3, является графиком функции? Почему?

Ответ: а); в).

III. Систематизация и обобщение знаний учащихся о убывающие, возрастающие, четные и нечетные функции.

Функция у = f(x) называется возрастающей (рис. 4), если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. для любых значений х1 и х2 из области определения функции таких, что х1 х2, выполняется неравенство f(x1) f(x2) и наоборот: из того, что f(x1) f(x2) выполняется неравенство х1 х2.

 

 

 

 

Функция у = f(x) называется убывающей (рис. 5), если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, т.е. для любых значений х1 и х2 из области определения функции таких, что х1 х2, выполняется неравенство f(x1) > f(x2) и наоборот: если у = f(x) - убывающая, то из того, что f(x1) > f(x2), выполняется неравенство х1 х2.

Выполнение упражнений

1. Пользуясь графиками функций, изображенных на рисунке 6, укажите промежутки возрастания и убывания функций.

 

Ответ:

а) на каждом из промежутков[-1;0], [1;2] функция возрастает на каждом из промежутков[-2;-1], [0;1] функция спадает;

б) на каждом из промежутков[-3;-2], [1;2] функция убывает; на промежутке [-2;1] функция возрастает;

в) на промежутке (-;-1] функция убывает, на промежутке [-1; 1] функция постоянна на промежутке [1;+) функция возрастает.

2. Функция у = f(x) возрастающая. Сравните: а) f(10) и f(-10); б) и .

Ответ: а) f(10) > f(-10); б) .

3. Функция у = f(x) - убывающая на R. Сравните: а) f(10) и f(-10); б) и .

Ответ: а) f(10) f(-10); б) > .

4. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

а) у = x - 3; б) у = -x + 3; в) у = x2 + 1; г) у = -х2 + 1.

Ответ:

а) возрастает на R;

б) убывает на R;

в) возрастает на промежутке [0;+) и убывает на промежутке (-;0];

г) возрастает на промежутке (-;0] и убывает на промежутке [0;+).

Функция у = f(x) называется парной, если для любого значения х из D(y) значение - х также принадлежит D(y) и выполняется равенство f(-x) = f(x).

График четной функции симметричен относительно оси ОУ (рис. 7).

 

Пример 1. Или четная функция f(x) = χ4 + χ2 ?

Поскольку D(f) = R и f(-x) = (-х)4 + (-x)2 = х4 + х2 = f(x) , то функция четная.

Пример 2. Или четная функция f(x) = х2 + х ?

Поскольку D(f) = R, но f(-x) = (-х)2 + (-х) = х2 - х f(x), то функция не является четным.

Функция у = f(x) называется нечетной, если для любого значения х из D(y) значение х D(y) и выполняется равенство f(-x) = -f(х).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат (рис. 8).

 

 

Пример 3. Или нечетная функция f(х) = x3 - x5?

Поскольку D(f) = R и f(-х) = (-х)3 - (-х) = -х3 + х5 = -(х3 - х5) = -f(х), то функция нечетная.

Пример 4. Или нечетная функция f(х) = х3 - х2 ?

Поскольку D(f) = R и f(-x) = (-х)3 - (-х)2 = -х3 - х2 = -(х3 + х2)f(x) = -х3 + х2, функция не является нечетной.

Выполнение упражнений

1. Какие из функций, графики которых показаны на рисунке 9, являются четными, а какие нечетными?

Рис. 9

 

Ответ: нечетные - а), в); парные - б) д).

2. Какие из представленных функций а) у = х3 + 2х7; б) у = ; в) у = ; г) у = 3x2 + х6; д) у = х +1; в) у = +1 являются четными, а какие нечетными?

Ответ: четные - в), г); е); нечетные - а).

 

IV. Подведение итогов урока

 

V. Домашнее задание

Раздел И § 1(1). Вопросы и задания для повторения раздела И № 1-12. Упражнения№ 1 (2; 5; 7), № 2 (3; 5).