Сумма первых n членов геометрической прогрессии
Распространенной является задача на нахождение суммы первых n
членов геометрической прогрессии. Для этого достаточно знать первый член прогрессии b1
и знаменатель прогрессии q.
Формула суммы Sn n первых
членов геометрической прогрессии .
Если знаменатель геометрической прогрессии q = 1, то
прогрессия является постоянной, все ее члены равны, поэтому сумма n первых ее
членов равна произведению одного члена прогрессии на их количество.
Рассмотрим бесконечную геометрическую прогрессию,
знаменатель которой удовлетворяет условию |q| 1.
Члены такой прогрессии будут приближаться к нулю. Для этих прогрессий можно
находить суммы всех членов по формуле .
Старинная задача
В учебнике Магницкого «Арифметика» есть такая задача:
Некто продал лошадь за 156 рублей. Но покупатель вернул
товар, считая, что цена великовата. Тогда продавец предложил ему купить только
гвоздики до подков лошади. Гвоздей в каждой подкове 6, а цена была предложена
такая: за первый гвоздь - четверть
копейки, за второй - полушки, за третий - одну копейку и так далее. Покупатель
решил, что при таких подсчетах он заплатит за коня не больше 10 рублей
и согласился на условие. Подсчитав, сколько ему нужно заплатить за 24
подковы, то есть найти сумму 24 первых членов геометрической прогрессии, первый член
которой - копейки, a знаменатель прогрессии равен числу 2, мы поймем, насколько
больше заплатил жадный покупатель - эта сумма равна почти 42 тысячам рублей.