Решение систем уравнений второй степени с двумя переменными

Часто практические задачи решаются составлением систем уравнений второй степени с двумя переменными. Уравнения, входящие в систему, оба могут быть уравнениями второй степени или одно из них может быть первого степень, а второе - второй степени.

Такие системы можно решать разными способами. Приведем основные из них:

1. Графический способ. Чтобы решить систему уравнений таким образом, необходимо построить графики уравнений в одной системе координат и найти координаты общих точек графиков (точек их пересечения). При этом необходимо помнить, что графиком уравнения ax + bx = c является прямая; графиком уравнения ax² + bу = c является парабола, графиком уравнения ху = a является гипербола; графиком уравнения х² + у² = a² есть круг, радиус которого равен a.

2. Способ подстановки. При решении системы уравнений способом подстановки необходимо:

· выразить из уравнения первой степени одну переменную через другую;

· подставить полученное выражение во второе уравнение системы вместо соответствующей переменной;

· решить полученное уравнения с одной переменной;

· найти соответствующие значения второй переменной;

· записать в ответ пары значений переменных.

3. Способ введения новой переменной. Если в обоих уравнениях системы есть одинаковые выражения, их можно заменить другими буквами, a все другие выражения подать через них. После нахождения значений новых переменных необходимо вернуться к заменам и найти значения переменных, заданных в системе уравнений.

Если одно уравнение системы задает значение суммы переменных, a второе - значение произведения переменных, можно воспользоваться последствиями теоремы Виета. За ними необходимо составить соответствующее квадратное уравнение, найти из него значение одной переменной, a затем - и значение второй переменной.

4. Способ деления. Если правые части уравнений не равны нулю, можно разделить одно уравнение на второе и использовать при решении полученное упрощенное уравнение.