Решение систем уравнений второй степени с двумя
переменными
Часто практические задачи решаются составлением систем
уравнений второй степени с двумя переменными. Уравнения, входящие в систему,
оба могут быть уравнениями второй степени или одно из них может быть первого
степень, а второе - второй степени.
Такие системы можно решать разными способами.
Приведем основные из них:
1. Графический способ.
Чтобы решить систему уравнений таким образом, необходимо построить графики
уравнений в одной системе координат и найти координаты общих точек графиков
(точек их пересечения). При этом необходимо помнить, что графиком уравнения ax
+ bx = c является прямая; графиком уравнения ax2 + bу
= c является парабола, графиком уравнения ху = a является гипербола;
графиком уравнения х2 + у2 = a2
есть круг, радиус которого равен a.
2. Способ подстановки.
При решении системы уравнений способом подстановки необходимо:
·
выразить из уравнения
первой степени одну переменную через другую;
·
подставить полученное выражение
во второе уравнение системы вместо соответствующей переменной;
·
решить полученное
уравнения с одной переменной;
·
найти соответствующие значения
второй переменной;
·
записать в ответ пары
значений переменных.
3. Способ введения новой
переменной. Если в обоих уравнениях системы есть одинаковые выражения, их можно заменить
другими буквами, a все другие выражения подать через них. После нахождения значений
новых переменных необходимо вернуться к заменам и найти значения переменных, заданных
в системе уравнений.
Если одно уравнение системы задает значение суммы
переменных, a второе - значение произведения переменных, можно воспользоваться последствиями
теоремы Виета. За ними необходимо составить соответствующее квадратное уравнение, найти
из него значение одной переменной, a затем - и значение второй переменной.
4. Способ деления.
Если правые части уравнений не равны нулю, можно разделить одно уравнение на
второе и использовать при решении полученное упрощенное уравнение.