Доказательство неравенств

Иногда в математических задачах возникает необходимость доказать, что неравенство с одной переменной является правильной для всех значений переменной. Это делают с определениями понятий «больше» или «меньше»:

1) Число a больше числа b, если разность a-b является положительным числом.

2) Число a меньше числа b, если разность a-b является отрицательным числом.

3) Число a равно числу b, если разность a-b равна нулю.

Поскольку задачи на доказательство неравенств очень разнообразные, то и способы доказательства неравенств разнообразные. Основной из них - возведение заданного неравенства к рівносильної ей неровности, права часть которой равна нулю, и доказательства того, что левая часть неравенства приобретает только положительных, отрицательных, недодатних или неотрицательных значений.

При этом важно помнить, что квадрат или парный степень выражения приобретает неотрицательных значений; если к квадрату или парного степени выражения добавляется некоторое положительное число, то полученный выражение приобретает только положительных значений.

Доказывать неравенства можно с помощью анализа. При этом надо помнить несколько важных неравенств:

1. Сравнение среднего арифметического и среднего геометрического положительных чисел. Среднее геометрическое чисел не превышает их среднего арифметического ; ;

2. Неравенство Бернулли. Если некоторое число х больше от -1 (х > -1) и n - натуральное число, то n-й степень суммы 1 + х больше или равно сумме числа 1 и произведения чисел nx: (1 + x)ⁿ ≥ 1 + nx.