Углы, вписанные в круг. Пропорциональность отрезков хорд, секущих и касательных

Если на плоскости провести угол, то он разобьет ее на две части, каждая из которых называется плоским углом. Эти углы имеют общие стороны.

Два угла, имеющие общие стороны, называются доповняльними углами, а их сумма равна 360°.

Если в кругу построить плоский угол так, что его вершиной будет центр круга, то получим угол, который называется центральным углом. Итак, центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в центре круга.

Часть круга, которая находится внутри плоского угла, называется дугой окружности.

Градусная мера дуги окружности - это градусная мера соответствующего центрального угла.

Говорят, что градусная мера центрального угла окружности равен градусной мере дуги окружности, на которую он опирается.

В круге угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают данное окружность, называется вписанным углом. Градусная мера вписанный в окружность угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Если в кругу центральный и вписанный угол опираются на одну и ту же дугу, то градусная мера вписанного угла в два раза меньше градусную меру центрального угла. Вписаны в некоторый круг углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности, имеют равные градусные меры независимо от размещения на кругу их вершин.

Говорят, что вписанный угол опирающийся на хорду, что взимает соответствующую дугу окружности. Тогда справедливо следующее утверждение: все вписанные углы некоторого круга, опирающиеся на одну и ту же хорду и лежат с одной стороны от нее, имеют равные градусные меры, то есть уровни. Если же два вписаны углы некоторого круга опираются на одну и ту же хорду и лежат с разных сторон от нее, то их сумма равна 180°.

Градусные меры дуг окружности, лежащие между двумя параллельными хордами, равны.

Все вписаны в некоторый круг углы, опирающиеся на диаметр, является прямым.

Запомнить’помните!

- центр окружности, описанной вокруг остроугольного треугольника лежит внутри треугольника;

- центр круга, описанного вокруг тупокутного треугольника лежит вне треугольника;

- центр круга, описанного вокруг прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы треугольника.

Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, делит треугольник на два равнобедренные треугольники и равна половине гипотенузы. Одновременно она является радиусом круга, описанного вокруг этого треугольника.

Справедливыми являются и такие утверждения:

- если медиана некоторого треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то противоположный этой стороны угол является прямым.

- если гипотенуза некоторого прямоугольного треугольника является диаметром окружности, то данный треугольник является вписанным в это круг.