Подобие фигур

Преобразования подобия

Еще в Древней Греции возникло учение о подобные фигуры. В частности, в книге «Начала» Евклид пишет о преобразовании подобия.

Преобразованием подобия, или сходством называется такое преобразование одной фигуры в другую, при котором расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз. Это число называется коэффициентом сходства. Коэффициент подобия обозначается латинской буквой k и является положительным числом.

Если коэффициент подобия равен единице, то преобразование является движением;

если коэффициент подобия меньше единицы, то расстояние между точками уменьшается; если коэффициент сходства больше единицы, то расстояние между точками увеличивается.

Преобразование подобия имеет такие свойства:

- преобразования подобия переводит прямые в прямые, півпрямі - в півпрямі, отрезки - в отрезки;

- преобразования подобия сохраняет углы между півпрямими;

- преобразования подобия переводит параллельные прямые в параллельные прямые.

Две фигуры называются подобными, если одну из них можно получить из второй с помощью преобразования подобия. Подобие фигур означает, что независимо от размеров и положения на плоскости эти фигуры имеют одинаковую форму.

Все круги являются подобными фигурами, все квадраты есть подобными фигурами.

Если первая фигура подобна второй фигуре с коэффициентом k, то вторая фигура тоже подобная первой фигуре, но с коэффициентом, обратным числу k, - 1/k . Одним из преобразований подобия является гомотетія.

Если две подобные фигуры размещены так, что все півпрямі, проведенные с некоторой точки через точки одной фигуры, проходят через соответствующие точки второй фигуры, то это гомотетія.

Гомотетією с центром в точке О и коэффициентом k называется такое преобразование одной фигуры в другую, при котором каждая точка Х первой фигуры переходит в точку Х' второй фигуры так, что точка Х' лежит на луче, выходящем из точки О и проходит через точку Х, а расстояние между точкой О и точкой Х' равна расстоянию между точкой А и точкой Х, умноженной на коэффициент гомотетії k.

Практические советы.

Чтобы построить отрезок, гомотетичний данном отрезке с заданным центром гомотетії и заданным коэффициентом гомотетії, проведите півпрямі с началом в центре гомотетії, которые проходят через концы отрезка. На півпрямих от их начала отложите отрезки, длины которых равны соответственно длинам отрезков, соединяющих центр гомотетії с концами заданного отрезка, умноженных на коэффициент гомотетії, и соединяют точки, полученные на півпрямих.