МАТЕМАТИКА

ВЕКТОРЫ

Векторы в пространстве

Вектор - направленный отрезок

А - начало вектора

В - конец вектора

Модуль вектора - длина отрезка, изображающий вектор: ||.

Два вектора равны, если они одинаково направлены и имеют равные модули.

Координаты вектора с началом в точке А(x₁,y₁,z₁) и концом В точке В(х₂,у₂,z₂).

Равные векторы имеют равные соответствующие координаты.

Коллинеарны векторы - ненулевые векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых

- одинаково направленные векторы и ;

- противоположно направленные векторы и .

Теорема: Если , то существует число λ, такое, что = λ. Если λ > 0, тогда . Если λ 0, тогда .

Действия с векторами

- правило треугольника

- правило параллелограмма

Суммой векторов является вектор

Произведением вектора (х, у, z) на число λ является вектор

Свойства:

Скалярным произведением векторов является число

Скалярный квадрат вектора (х, у, z)

откуда

Теорема: Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно произведению их модулей на косинус угла между ними.

Если , тогда = 0.

Если · = 0 и ≠ 0, ≠ 0, тогда

Уравнение плоскости

где (х₀, у₀, z₀) -координаты точки, через которую проходит плоскость;

(А; В; С) - нормальный вектор к плоскости