2-й семестр

ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

4. Электромагнитные колебания и волны

УРОК 3/45

Тема. Период собственных колебаний в колебательном контуре

Цель урока: научить учащихся определять период и частоту собственных колебаний в колебательном контуре.

Тип урока: урок изучения нового материала.

ПЛАН УРОКА

ИЗУЧЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА

1. Формула Томсона

Формула колебаний пружинного маятника Аналогом массы m для колебаний в контуре является индуктивность L. А чтобы определить аналог жесткости пружины k, присмотримся к формулам Поскольку сила тока является аналогом скорости заряд q можно считать аналогом смещения в груза (деформации пружины) х. Тогда, сопоставив формулы энергии, можно сделать вывод об аналогии между величинами k и 1/C.

Итак, заменив m на L, а k на 1/C, получаем формулу периода свободных электромагнитных колебаний в колебательном контуре:

Эта формула называется формулой Томсона.

Из формулы Томсона следует, что, изменяя L и C, можно получать электрические колебания заданной частоты:

2. Формула Томсона как следствие закона сохранения энергии

По определению сила тока равна скорости изменения заряда: В любой момент времени сила тока

Соответственно, скорость изменения силы тока:

Полная энергия идеального колебательного контура не изменяется со временем: Найдем производные от правой и левой части этого равенства: Отсюда получаем:

Учитывая, что i = q', i'= q", имеем:

Отсюда: Это уравнение является дифференциальным уравнением второго порядка, решением которого будет функция косинуса (синуса).

Если а в такой способ

Следовательно, заряд на обкладках конденсатора идеального колебательного контура изменяется по гармоничному закону:

Из выражений имеем:

Поскольку период колебаний T = 2/ω, то получаем формулу Томсона:

Сила тока связана с зарядом на обкладках конденсатора соотношением:

где - амплитудное значение силы тока.

Колебания силы тока в контуре опережают колебания заряда на обкладках конденсатора по фазе на /2.

3. Период колебаний в реальном колебательном контуре

В реальном колебательном контуре всегда есть определенные потери энергии. Все эти потери условно считают потерями на активном сопротивлении R. Наличие активного сопротивления приводит к тому, что амплитуда силы тока постепенно уменьшается и колебания прекращаются. Таким образом, свободные электромагнитные колебания в реальном контуре являются затухающими.

Для затухающих колебаний (формула Томсона имеет такой вид:

ВОПРОС К УЧАЩИМСЯ В ХОДЕ ИЗЛОЖЕНИЯ НОВОГО МАТЕРИАЛА

Первый уровень

1. Какова роль индуктивности и емкости в колебательном контуре?

2. Почему электромагнитные колебания в реальном контуре всегда являются затухающими?

3. Как изменится период свободных колебаний в колебательном контуре, если увеличить расстояние между пластинами конденсатора?

4. Как изменится частота свободных колебаний в колебательном контуре, если в катушку внести железный сердечник?

Второй уровень

1. Включенный в колебательный контур конденсатор заполнен диэлектриком проницаемостью ε = 4. Как изменится частота собственных колебаний контура?

2. В колебательном контуре происходят свободные незатухающие колебания частотой 50 кГц. С какой частотой изменяется энергия электрического поля конденсатора?

ЗАКРЕПЛЕНИЕ ИЗУЧЕННОГО МАТЕРИАЛА

1). Качественные вопросы

1. Емкость конденсатора колебательного контура уменьшили в 2 раза. Во сколько раз надо изменить индуктивность катушки, чтобы частота колебаний в контуре осталась прежней?

2. Пластины плоского конденсатора, включенного в колебательный контур, сначала сближают, а затем отодвигают друг от друга. Как при этом изменяется частота электрических колебаний?

2). Учимся решать задачи

1. Максимальное напряжение на обкладках конденсатора идеального колебательного контура достигает 1 кВ. Определите период колебаний в контуре, если по амплитудного значении силы тока 1 А, энергия магнитного поля в контуре составляет 1 мДж.

Решения. Для определения периода колебаний воспользуемся формулой Томсона и законом сохранения энергии Перемножив эти равенства, получаем: Отсюда:

Окончательно имеем:

Проверив единицы величин и подставив числовые значения, определяем период колебаний: 13 мкс.

2. Частота колебаний в колебательном контуре равна 100 кГц. Какой станет частота колебаний, если уменьшить емкость конденсатора в 8 раз, а индуктивность катушки увеличить в 2 раза?

3. Какая частота свободных электромагнитных колебаний в контуре, состоящем из конденсатора емкостью 250 пФ и катушки индуктивностью 40 мкГн?

4. Заряд на пластине конденсатора колебательного контура уменьшился от амплитудного значения до половины этого значения. Через какую часть периода колебаний этот заряд будет иметь такой же модуль, но противоположный знак?

Ответ: через 1/6 периода.

ЧТО МЫ УЗНАЛИ НА УРОКЕ

• Формула Томсона:

• Частота электромагнитных колебаний:

• Формула Томсона для затухающих колебаний:

Домашнее задание

1. Подр-1: § 28; подр-2: § 15 (п. 3).

2. Сб.:

Рів1 № 11.9; 11.10; 11.11; 11.12.

Рів2 № 11.24; 11.25; 11.26; 11.27.

Рів3 № 11.32, 11.33; 11.44; 11.45.