1-й семестр

ВСТУПЛЕНИЕ

Урок 2/2

Тема. Измерения. Погрешности измерений. Математика - язык физики

Цель урока: ознакомить учащихся с понятием «погрешность измерений». Ознакомить учащихся с математическим аппаратом в курсе физики

Тип урока: изучение нового материала

План урока

ИЗУЧЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА

1. Погрешности измерений. Абсолютная и относительная погрешности измерения

Во время измерения любой физической величины обычно выполняют три последовательные операции:

1) выбор, проверка и установка приборов;

2) фиксирование показаний приборов;

3) вычисление искомой величины по результатам измерений, оценка погрешности.

Значение любой физической величины, получаемой в результате замер, определяется только приближенно. Во время ее измерения тем же прибором в одинаковых условиях мы будем получать серию различных значений. Этот набор значений располагается в определенном числовом интервале (A1, A2). Разброс значений внутри такого интервала называют погрешностью измерений.

Ø Погрешность измерения - оценка отклонения величины измеренного значения величины от Те истинного значения. Погрешность измерения является мерой точности измерения.

Ошибки в измерении физических величин делятся на два класса: случайные и систематические погрешности погрешности.

Случайные погрешности обязаны своим происхождением ряду причин, действие которых неодинаково в каждом опыте и может быть не учтена. Случайная погрешность - погрешность, которая изменяется (по величине и по знаку) от измерения к измерению. Случайные погрешности могут быть связаны:

• с несовершенством приборов (трение в механических приборах и т. п.);

• тряской в городских условиях;

• с несовершенством объекта измерений (например, во время измерения диаметра тонкой проволоки, который может иметь не совсем круглое сечение в результате несовершенства процесса изготовления);

• с особенностями самой измеряемой величины.

Предположим, что используя ту же самую аппаратуру и тот же метод измерения, определили N измерений величины х и получили N , где величина х1 - результат первого измерения, х2 - второго, xN - N -го измерения.

Чтобы проанализировать результаты, необходимо ответить на два вопроса:

• Как найти наиболее вероятное значение измеряемой величины?

• Как определить случайную погрешность через измерения? Ответ на эти вопросы можно найти в теории вероятностей.

Наиболее вероятное значение измеряемой величины (хвим) равен среднему арифметическому значений, полученных в результате измерений: случайная погрешность - средняя ошибка, полученная в результате всех измерений, вычисляется по формуле:

Ø Систематическая погрешность - погрешность, которая изменяется во времени, подчиняясь определенному закону.

Систематические погрешности могут быть связаны с ошибками приборов (неправильная шкала, калибровки и т. п.),которые не учитывались экспериментатором.

Чтобы правильно оценить точность эксперимента, необходимо учесть как систематическую погрешность, которая является результатом работы прибора, так и случайную погрешность, обусловленную ошибками измерений. Эту суммарную погрешность называют абсолютной погрешностью измерения.

Сама по себе абсолютная погрешность не раскрывает качество измерения. Поэтому есть смысл говорить о относительную погрешность.

Относительная погрешность характеризует качество измерения и равна отношению абсолютной погрешности к среднему значению измеряемой величины. Относительную погрешность иногда называют точностью. Чаще всего относительную погрешность определяют в процентах.

2. Как определяют абсолютную и относительную погрешности косвенных измерений

Много физических величин невозможно измерить непосредственно, их косвенное измерение имеет два этапа. Сначала измеряют величины х, у, z, которые можно измерить методом прямых измерений, а затем, используя значения измерений х, у, z вычисляют искомую величину f. Ниже в таблице выведены формулы вычисления относительной погрешности для некоторых функций.

Абсолютную погрешность (Δf) можно найти, воспользовавшись определением относительной погрешности (εf). Используя определения получаем

3. Как правильно записать результат измерения

Абсолютная погрешность эксперимента определяет точность, с которой можно проводить вычисления величины, которая измеряется. Если ошибка округления больше абсолютную погрешность - округление уменьшает фактически достигнутую точность измерения; а если ошибка округления меньше абсолютную погрешность - последние цифры записи результата будут недостоверными. Поэтому округлять результаты измерений и вычислений надо так, чтобы последняя значащая цифра была в том же десятичном разряде, что и абсолютная погрешность измерения величины, что находилась.

В школьных лабораторных работах можно ограничиваться двумя значащими цифрами. Окончательный результат для значения величины записывают в виде: где хвим - измеренное (среднее) значение.

4. Скалярные и векторные величины

Если некоторая величина полностью определяется ее числовыми значениями, то ее называют скалярной. Примерами скалярных величин могут служить: масса, плотность, работа, сила тока, температура.

Скалярные величины являются алгебраическими величинами, которые могут применяться при любых алгебраических действий: сложения, вычитания, умножения, деления, нахождения степени и др.

Если во время определения определенной величины для ее полной характеристики, кроме числового значения, надо знать и ее направление, то такая величина называется векторной или вектором.

Примерами векторных величин являются скорость, ускорение, сила. Длина вектора называется его модулем или абсолютной величиной. Вектор обозначается графически отрезком прямой, на который ставится стрелка, указывающая направление вектора.

Будем обозначать вектор одной буквой со стрелкой над ней, например скорость v . Модуль вектора скорости обозначают так: v. Вектор равен нулю, если его модуль равен нулю. Такой вектор называется нулевым. Два вектора а и b называются равными, если:

1) равны их модули,

2) они параллельны и

3) направлены в одну сторону.

Два вектора с равными модулями, лежащие на параллельных прямых, но противоположно направленные, называются противоположными. Вектор, противоположный вектору а, обозначается через -.

Действия с векторными величинами выполняем по правилам действий с векторами. Например, сложение векторных величин производится или по правилу треугольника (рис. а), или по правилу параллелограмма (рис. б).

Решения многих задач, в которых используются векторные величины, значительно упрощается, благодаря тому, что любую векторную величину можно задать с помощью нескольких чисел, которые называются проекциями этой векторной величины на оси координат. Если вектор направленный вдоль какой-либо одной из координатных осей - его проекция на эту ось равна модулю этого вектора, взятому со знаком «+», если вектор направленный в положительном направлении координатной оси, и модулю вектора со знаком «-», если вектор обращен в отрицательном направлении оси. Проекции же такого вектора на остальные координатной оси равны нулю. На рисунке в качестве примера изображены векторы и , направленные вдоль оси х. Проекция вектора на ось х положительна, поэтому ах = а, а проекция вектора - отрицательная, поэтому bх = -b.

Если направление вектора не совпадает с направлением какой-либо из координатных осей, его можно представить в виде суммы векторов, каждый из которых обращен вдоль одной из координатных осей. Такое представление называется разложением вектора на составляющие. В таком случае проекции вектора - это проекции его составляющих. На рисунке показано разложение вектора на составляющие, одна из которых направлена вдоль оси х, а другая - вдоль оси у.

Проекции вектора с такие: сх = ах; сy = by.

5. Приближенные вычисления

Выполняя вычисления, всегда необходимо помнить о той точности, которую нужно или которую можно получить. Недопустимо вести вычисления с большой точностью, если данные задачи не допускают или не требуют этого. Если приближенное число содержит лишние (или неверные) знаки, то его следует округлить. Во время округления хранятся только правильные знаки; лишние знаки отбрасываются. Причем если последняя цифра больше или равна 5, то предыдущая цифра увеличивается на единицу, а если последняя цифра меньше 5, то предыдущая цифра не меняется. При округлении возникает дополнительная погрешность не превышает половины единицы разряда последней значащей цифры округленного числа. Поэтому, чтобы после округления все знаки были правильными, погрешность до округления должна быть не больше половины единицы того разряда, до которого будет производиться округление.

6. Графики функций и правила их построения

Рассмотрим построение графиков двух простых функций: линейной функции y = y0 + kx и квадратичной функции у = ах2 + bх + с. Примером функций такого вида может служить зависимость перемещения от времени во время равномерного движения (линейная функция) и во время рівноприскореного движения (квадратичная функция). Общий метод построения графиков любой функции следующий: для функции, график которой нужно построить, составляют таблицу. В одной строке этой таблицы записывают значения аргумента (х), а в другой - вычисленные для этого аргумента значение функции. Затем строят оси координат: ось х - ось абсцисс, ось у - ось ординат. После этого откладывают точки с парой координат (хi,yi) из таблицы и через полученные точки проводят плавную кривую.

Графиком линейной функции является прямая линия. Для его построения достаточно найти положение двух точек и через эти точки провести прямую линию. Графиком квадратичной функции является парабола, для построения которой необходимо: найти точки пересечения графика с осями координат; найти вершину параболы; построить ось симметрии.

ЗАКРЕПЛЕНИЕ ИЗУЧЕННОГО МАТЕРИАЛА

1. Последовательные операции выполняют, измеряя любую величину?

2. Что такое прямые измерения? Приведите примеры.

3. Что такое косвенные измерения? Приведите примеры.

4. С какой целью необходимо оценивать точность измерений?

5. Приведите примеры случайных погрешностей; систематических погрешностей.

6. Приведите примеры абсолютной и относительной погрешностей.

7. Для чего необходимо делать оценку абсолютной погрешности?

8. Какие величины называются скалярными? Приведите примеры скалярных величин в физике.

9. Какие величины называются векторными? Приведите примеры векторных величин в физике.

10. Что такое проекция векторной величины на ось координат? Какой знак может иметь эта проекция?

Задачи для решения на уроке

1. Тело переместилось из определенной точки с координатами х0 = 2 м, y0 = 3 м в точку с координатами х = 4 м и в = 1 м. Найдите модуль вектора и его проекции на оси координат.

2. Тело переместилось из определенной точки с координатами x1 = 0, у1 = 2 м в точку с координатами х2 = 4 м, у2 = -1 м. Найдите модуль вектора и его проекции на оси координат.

Что мы узнали на уроке

• Погрешность измерения - оценка отклонения величины измеренного значения величины от ее истинного значения. Случайные погрешности обязаны своим происхождением ряду причин, действие которых неодинаково в каждом опыте и не может быть учтена. Наиболее вероятное значение измеряемой величины (хвим) равен среднему арифметическому значений, полученных в результате измерений.

• Случайная погрешность (Δхвим) - средняя ошибка, полученная в результате всех измерений, вычисляется по формуле:

• Относительная погрешность характеризует качество измерения и равна отношению абсолютной погрешности (Δх) до среднего значения измеряемой величины (хвим):

• Абсолютная погрешность - это модуль отклонения измеренного значения физической величины от ее истинного значения:

Домашнее задание

1. П.: Вступление. §§ 3, 4.

2. 36:

р1) - 1.5; 1.8. 1.12; 1.13; 1.18;

р2) - 1.21;1.22;1.24, 1.26;

р3) - 1.34,1.35, 1.37,1.38.